Theorem 0sdom 3368

Description: A set strictly dominates the empty set iff it is not empty.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
0sdom	|- ((/) ~< A <-> -. A = (/))

Proof of Theorem 0sdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsdom 3286	. . 3 |- ((/) ~< A <-> ((/) ~<_ A /\ -. (/) ~~ A))
2		0dom 3366	. . 3 |- (/) ~<_ A
3	1, 2	mpbiran 547	. 2 |- ((/) ~< A <-> -. (/) ~~ A)
4		0sdom.1	. . . . . 6 |- A e. V
5	4	ensym 3317	. . . . 5 |- ((/) ~~ A -> A ~~ (/))
6		0ex 1745	. . . . . 6 |- (/) e. V
7	6	ensym 3317	. . . . 5 |- (A ~~ (/) -> (/) ~~ A)
8	5, 7	impbi 139	. . . 4 |- ((/) ~~ A <-> A ~~ (/))
9		en0 3328	. . . 4 |- (A ~~ (/) <-> A = (/))
10	8, 9	bitr 151	. . 3 |- ((/) ~~ A <-> A = (/))
11	10	negbii 162	. 2 |- (-. (/) ~~ A <-> -. A = (/))
12	3, 11	bitr 151	1 |- ((/) ~< A <-> -. A = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707   class class class wbr 2054   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  0sdom1dom 3420  infn0 3427  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org