Theorem 1lt2pi 3826

Description: One is less than two (one plus one).

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 3193	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 3166	. . . . 5 |- (1o e. om -> (1o +o (/)) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 6	. . . 4 |- (1o +o (/)) = 1o
4		0ex 1745	. . . . . . 7 |- (/) e. V
5	4	sucid 2304	. . . . . 6 |- (/) e. suc (/)
6		df-1o 3104	. . . . . 6 |- 1o = suc (/)
7	5, 6	eleqtrr 1162	. . . . 5 |- (/) e. 1o
8		peano1 2390	. . . . . 6 |- (/) e. om
9		nnaord 3177	. . . . . 6 |- (((/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om) -> ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)))
10	8, 1, 1, 9	mp3an 642	. . . . 5 |- ((/) e. 1o <-> (1o +o (/)) e. (1o +o 1o))
11	7, 10	mpbi 164	. . . 4 |- (1o +o (/)) e. (1o +o 1o)
12	3, 11	eqeltrr 1160	. . 3 |- 1o e. (1o +o 1o)
13		1pi 3805	. . . 4 |- 1o e. N.
14		addpiord 3806	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
15	13, 13, 14	mp2an 520	. . 3 |- (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
16	12, 15	eleqtrr 1162	. 2 |- 1o e. (1o +N 1o)
17		addclpi 3814	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
18	13, 13, 17	mp2an 520	. . 3 |- (1o +N 1o) e. N.
19		ltpiord 3809	. . 3 |- ((1o e. N. /\ (1o +N 1o) e. N.) -> (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o)))
20	13, 18, 19	mp2an 520	. 2 |- (1o <N (1o +N 1o) <-> 1o e. (1o +N 1o))
21	16, 20	mpbir 165	1 |- 1o <N (1o +N 1o)

Syntax hints:   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  suc csuc 2201  omcom 2372  (class class class)co 3001  1oc1o 3099   +o coa 3101  N.cnpi 3766   +N cpli 3767   <N clti 3769

This theorem is referenced by:  1lt2pq 3872

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-ni 3794  df-pli 3795  df-lti 3797

metamath.org