Theorem 1pi 3805

Description: Ordinal 'one' is a positive integer.

Assertion

Ref	Expression
1pi	|- 1o e. N.

Proof of Theorem 1pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 3193	. . 3 |- 1o e. om
2		nsuceq0 2306	. . . 4 |- -. suc (/) = (/)
3		df-1o 3104	. . . . 5 |- 1o = suc (/)
4	3	cleq1i 1108	. . . 4 |- (1o = (/) <-> suc (/) = (/))
5	2, 4	mtbir 167	. . 3 |- -. 1o = (/)
6	1, 5	pm3.2i 234	. 2 |- (1o e. om /\ -. 1o = (/))
7		elni 3798	. 2 |- (1o e. N. <-> (1o e. om /\ -. 1o = (/)))
8	6, 7	mpbir 165	1 |- 1o e. N.

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  suc csuc 2201  omcom 2372  1oc1o 3099  N.cnpi 3766

This theorem is referenced by:  mulidpi 3808  1lt2pi 3826  nlt1pi 3827  indpi 3828  1q 3851  1qec 3862  mulidpq 3863  1lt2pq 3872  halfpq 3876  prlem934a 3931  prlem934b 3932  prlem934 3933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-1o 3104  df-ni 3794

metamath.org