Theorem 1st2val 3097

Description: Value of an alternate definition of the 1st function.

Assertion

Ref	Expression
1st2val	|- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem 1st2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opr 3003	. . . . . 6 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = x}v) = ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.)
2		visset 1350	. . . . . . 7 |- w e. V
3		visset 1350	. . . . . . 7 |- v e. V
4		id 9	. . . . . . . 8 |- (x = w -> x = w)
5		cleqid 1102	. . . . . . . . 9 |- w = w
6	5	a1i 7	. . . . . . . 8 |- (y = v -> w = w)
7		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
8		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
9	7, 8	pm3.2i 234	. . . . . . . . . 10 |- (x e. V /\ y e. V)
10	9	biantrur 544	. . . . . . . . 9 |- (z = x <-> ((x e. V /\ y e. V) /\ z = x))
11	10	bioprabi 3027	. . . . . . . 8 |- {<.<.x, y>., z>. | z = x} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. V /\ y e. V) /\ z = x)}
12	2, 4, 6, 11	oprabval2 3051	. . . . . . 7 |- ((w e. V /\ v e. V) -> (w{<.<.x, y>., z>. | z = x}v) = w)
13	2, 3, 12	mp2an 520	. . . . . 6 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = x}v) = w
14	1, 13	eqtr3 1121	. . . . 5 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = w
15	2	op1st 3091	. . . . 5 |- (1st` <.w, v>.) = w
16	14, 15	eqtr4 1122	. . . 4 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = (1st` <.w, v>.)
17		fveq2 2832	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A))
18		fveq2 2832	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> (1st` <.w, v>.) = (1st` A))
19	17, 18	cleq12d 1115	. . . 4 |- (<.w, v>. = A -> (({<.<.x, y>., z>. | z = x}` <.w, v>.) = (1st` <.w, v>.) <-> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A)))
20	16, 19	mpbii 168	. . 3 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A))
21	20	19.23aivv 953	. 2 |- (E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A))
22		a9e 809	. . . . . . . . . 10 |- E.z z = x
23	9, 22	2th 540	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ y e. V) <-> E.z z = x)
24	23	biopabi 2103	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)} = {<.x, y>. | E.z z = x}
25		df-xp 2424	. . . . . . . 8 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
26		dmoprab 3031	. . . . . . . 8 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} = {<.x, y>. | E.z z = x}
27	24, 25, 26	3eqtr4r 1127	. . . . . . 7 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} = (V X. V)
28	27	eleq2i 1153	. . . . . 6 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} <-> A e. (V X. V))
29		elvv 2464	. . . . . 6 |- (A e. (V X. V) <-> E.wE.v A = <.w, v>.)
30		cleqcom 1103	. . . . . . 7 |- (A = <.w, v>. <-> <.w, v>. = A)
31	30	bi2ex 734	. . . . . 6 |- (E.wE.v A = <.w, v>. <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
32	28, 29, 31	3bitr 155	. . . . 5 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
33	32	negbii 162	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} <-> -. E.wE.v<.w, v>. = A)
34		ndmfv 2848	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = x} -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (/))
35	33, 34	sylbir 176	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (/))
36		n0 1714	. . . . . . . . 9 |- (-. dom {A} = (/) <-> E.w w e. dom {A})
37	2	eldm2 2528	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. dom {A} <-> E.v<.w, v>. e. {A})
38		opex 1893	. . . . . . . . . . . . 13 |- <.w, v>. e. V
39	38	elsnc 1826	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, v>. e. {A} <-> <.w, v>. = A)
40	39	biex 733	. . . . . . . . . . 11 |- (E.v<.w, v>. e. {A} <-> E.v<.w, v>. = A)
41	37, 40	bitr 151	. . . . . . . . . 10 |- (w e. dom {A} <-> E.v<.w, v>. = A)
42	41	biex 733	. . . . . . . . 9 |- (E.w w e. dom {A} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
43	36, 42	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (-. dom {A} = (/) <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
44	43	biimp 133	. . . . . . 7 |- (-. dom {A} = (/) -> E.wE.v<.w, v>. = A)
45	44	con1i 88	. . . . . 6 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> dom {A} = (/))
46	45	unieqd 1929	. . . . 5 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.dom {A} = U.(/))
47		uni0 1938	. . . . 5 |- U.(/) = (/)
48	46, 47	syl6eq 1140	. . . 4 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.dom {A} = (/))
49		1stval 3089	. . . 4 |- (1st` A) = U.dom {A}
50	48, 49	syl5eq 1136	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> (1st` A) = (/))
51	35, 50	eqtr4d 1131	. 2 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A))
52	21, 51	pm2.61i 110	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = x}` A) = (1st` A)

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919  {copab 2055   X. cxp 2408  dom cdm 2410  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002  1stc1st 3085

This theorem is referenced by:  df1st2 3098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087

metamath.org