Theorem 2ecoptocl 3240

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	|- S = ((C X. D)/.R)
2ecoptocl.2	|- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
2ecoptocl.3	|- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
2ecoptocl.4	|- (((x e. C /\ y e. D) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	|- ((A e. S /\ B e. S) -> ch)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,A   z,B,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   z,S,w   x,R,y,z,w   ps,x,y   ch,z,w

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . . 4 |- S = ((C X. D)/.R)
2		2ecoptocl.3	. . . . 5 |- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3	2	imbi2d 464	. . . 4 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((A e. S -> ps) <-> (A e. S -> ch)))
4		2ecoptocl.2	. . . . . . 7 |- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
5	4	imbi2d 464	. . . . . 6 |- ([<.x, y>.]R = A -> (((z e. C /\ w e. D) -> ph) <-> ((z e. C /\ w e. D) -> ps)))
6		2ecoptocl.4	. . . . . . 7 |- (((x e. C /\ y e. D) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ph)
7	6	exp 291	. . . . . 6 |- ((x e. C /\ y e. D) -> ((z e. C /\ w e. D) -> ph))
8	1, 5, 7	ecoptocl 3239	. . . . 5 |- (A e. S -> ((z e. C /\ w e. D) -> ps))
9	8	com12 13	. . . 4 |- ((z e. C /\ w e. D) -> (A e. S -> ps))
10	1, 3, 9	ecoptocl 3239	. . 3 |- (B e. S -> (A e. S -> ch))
11	10	com12 13	. 2 |- (A e. S -> (B e. S -> ch))
12	11	imp 277	1 |- ((A e. S /\ B e. S) -> ch)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408  [cec 3198  /.cqs 3199

This theorem is referenced by:  3ecoptocl 3241  ecoprcom 3255  addclpq 3852  mulclpq 3854  ltexpq 3874  prlem934 3933  addclsr 3986  mulclsr 3987  mulgt0sr 4008

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org