Theorem 2elresin 2733

Description: Membership in two functions restricted by each other's domain.

Assertion

Ref	Expression
2elresin	|- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) <-> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))

Proof of Theorem 2elresin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
2		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
3	1, 2	fnop 2727	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
4		visset 1350	. . . . . . . 8 |- z e. V
5	1, 4	fnop 2727	. . . . . . 7 |- ((G Fn B /\ <.x, z>. e. G) -> x e. B)
6	3, 5	anim12i 268	. . . . . 6 |- (((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) /\ (G Fn B /\ <.x, z>. e. G)) -> (x e. A /\ x e. B))
7		an4 388	. . . . . 6 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) <-> ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) /\ (G Fn B /\ <.x, z>. e. G)))
8		elin 1635	. . . . . 6 |- (x e. (A i^i B) <-> (x e. A /\ x e. B))
9	6, 7, 8	3imtr4 192	. . . . 5 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> x e. (A i^i B))
10	2	opres 2580	. . . . . . 7 |- (x e. (A i^i B) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) <-> <.x, y>. e. F))
11	4	opres 2580	. . . . . . 7 |- (x e. (A i^i B) -> (<.x, z>. e. (G |` (A i^i B)) <-> <.x, z>. e. G))
12	10, 11	anbi12d 476	. . . . . 6 |- (x e. (A i^i B) -> ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)))
13	12	biimprd 136	. . . . 5 |- (x e. (A i^i B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
14	9, 13	syl 12	. . . 4 |- (((F Fn A /\ G Fn B) /\ (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
15	14	exp 291	. . 3 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))))))
16	15	pm2.43d 59	. 2 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) -> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))
17		resss 2587	. . . . 5 |- (F |` (A i^i B)) (_ F
18	17	sseli 1504	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) -> <.x, y>. e. F)
19		resss 2587	. . . . 5 |- (G |` (A i^i B)) (_ G
20	19	sseli 1504	. . . 4 |- (<.x, z>. e. (G |` (A i^i B)) -> <.x, z>. e. G)
21	18, 20	anim12i 268	. . 3 |- ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G))
22	21	a1i 7	. 2 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B))) -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G)))
23	16, 22	impbid 397	1 |- ((F Fn A /\ G Fn B) -> ((<.x, y>. e. F /\ <.x, z>. e. G) <-> (<.x, y>. e. (F |` (A i^i B)) /\ <.x, z>. e. (G |` (A i^i B)))))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092   i^i cin 1486  <.cop 1810   |` cres 2412   Fn wfn 2417

This theorem is referenced by:  tfrlem5 2953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-dm 2428  df-res 2430  df-fn 2433

metamath.org