Theorem 3ecoptocl 3241

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	|- S = ((D X. D)/.R)
3ecoptocl.2	|- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
3ecoptocl.3	|- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3ecoptocl.4	|- ([<.v, u>.]R = C -> (ch <-> th))
3ecoptocl.5	|- (((x e. D /\ y e. D) /\ (z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	|- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> th)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,A   z,B,w,v,u   v,C,u   x,D,y,z,w,v,u   z,S,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   ps,x,y   ch,z,w   th,v,u

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . . 5 |- S = ((D X. D)/.R)
2		3ecoptocl.3	. . . . . 6 |- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3	2	imbi2d 464	. . . . 5 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((A e. S -> ps) <-> (A e. S -> ch)))
4		3ecoptocl.4	. . . . . 6 |- ([<.v, u>.]R = C -> (ch <-> th))
5	4	imbi2d 464	. . . . 5 |- ([<.v, u>.]R = C -> ((A e. S -> ch) <-> (A e. S -> th)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . . 8 |- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
7	6	imbi2d 464	. . . . . . 7 |- ([<.x, y>.]R = A -> ((((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph) <-> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ps)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . . . 9 |- (((x e. D /\ y e. D) /\ (z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph)
9	8	3exp 611	. . . . . . . 8 |- ((x e. D /\ y e. D) -> ((z e. D /\ w e. D) -> ((v e. D /\ u e. D) -> ph)))
10	9	imp3a 279	. . . . . . 7 |- ((x e. D /\ y e. D) -> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph))
11	1, 7, 10	ecoptocl 3239	. . . . . 6 |- (A e. S -> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ps))
12	11	com12 13	. . . . 5 |- (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> (A e. S -> ps))
13	1, 3, 5, 12	2ecoptocl 3240	. . . 4 |- ((B e. S /\ C e. S) -> (A e. S -> th))
14	13	com12 13	. . 3 |- (A e. S -> ((B e. S /\ C e. S) -> th))
15	14	exp3a 292	. 2 |- (A e. S -> (B e. S -> (C e. S -> th)))
16	15	3imp 608	1 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> th)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408  [cec 3198  /.cqs 3199

This theorem is referenced by:  ecoprass 3256  ecoprdi 3257  ltsopq 3869  ltapq 3870  ltmpq 3871  ltsosr 3997  ltasr 4003

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org