Theorem 3oalem1 5552

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	|- B e. CH
3oalem1.2	|- C e. CH
3oalem1.3	|- R e. CH
3oalem1.4	|- S e. CH

Assertion

Ref	Expression
3oalem1	|- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +v y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +v w))) -> (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~) /\ (z e. H~ /\ w e. H~)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,B   x,C,y,z,w,v   x,R,y,z,w,v   x,S,y,z,w,v

Proof of Theorem 3oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . 6 |- (v = (x +v y) -> (v e. H~ <-> (x +v y) e. H~))
2		ax-hvaddcl 4984	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +v y) e. H~)
3	1, 2	syl5bir 184	. . . . 5 |- (v = (x +v y) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> v e. H~))
4	3	com12 13	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (v = (x +v y) -> v e. H~))
5	4	imdistani 340	. . 3 |- (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v = (x +v y)) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~))
6		3oalem1.1	. . . . 5 |- B e. CH
7	6	chel 5137	. . . 4 |- (x e. B -> x e. H~)
8		3oalem1.3	. . . . 5 |- R e. CH
9	8	chel 5137	. . . 4 |- (y e. R -> y e. H~)
10	7, 9	anim12i 268	. . 3 |- ((x e. B /\ y e. R) -> (x e. H~ /\ y e. H~))
11	5, 10	sylan 343	. 2 |- (((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +v y)) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~))
12		3oalem1.2	. . . . 5 |- C e. CH
13	12	chel 5137	. . . 4 |- (z e. C -> z e. H~)
14		3oalem1.4	. . . . 5 |- S e. CH
15	14	chel 5137	. . . 4 |- (w e. S -> w e. H~)
16	13, 15	anim12i 268	. . 3 |- ((z e. C /\ w e. S) -> (z e. H~ /\ w e. H~))
17	16	adantr 306	. 2 |- (((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +v w)) -> (z e. H~ /\ w e. H~))
18	11, 17	anim12i 268	1 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +v y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +v w))) -> (((x e. H~ /\ y e. H~) /\ v e. H~) /\ (z e. H~ /\ w e. H~)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959  CHcch 4968

This theorem is referenced by:  3oalem2 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org