Theorem 5oalem3 5546

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	|- A e. SH
5oalem3.2	|- B e. SH
5oalem3.3	|- C e. SH
5oalem3.4	|- D e. SH
5oalem3.5	|- F e. SH
5oalem3.6	|- G e. SH

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	|- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +v y) = (f +v g) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> (x -v z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem3.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
2		5oalem3.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
3		5oalem3.5	. . . . . . 7 |- F e. SH
4		5oalem3.6	. . . . . . 7 |- G e. SH
5	1, 2, 3, 4	5oalem2 5545	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +v y) = (f +v g)) -> (x -v f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)))
6		5oalem3.3	. . . . . . 7 |- C e. SH
7		5oalem3.4	. . . . . . 7 |- D e. SH
8	6, 7, 3, 4	5oalem2 5545	. . . . . 6 |- ((((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +v w) = (f +v g)) -> (z -v f) e. ((C +H F) i^i (D +H G)))
9	5, 8	anim12i 268	. . . . 5 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (x +v y) = (f +v g)) /\ (((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> ((x -v f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -v f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
10	9	an4s 390	. . . 4 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))) /\ ((x +v y) = (f +v g) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> ((x -v f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -v f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
11		anandir 393	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) <-> (((x e. A /\ y e. B) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ (f e. F /\ g e. G))))
12	10, 11	sylanb 344	. . 3 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +v y) = (f +v g) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> ((x -v f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -v f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))))
13	1, 3	shscl 5282	. . . . 5 |- (A +H F) e. SH
14	2, 4	shscl 5282	. . . . 5 |- (B +H G) e. SH
15	13, 14	shincl 5332	. . . 4 |- ((A +H F) i^i (B +H G)) e. SH
16	6, 3	shscl 5282	. . . . 5 |- (C +H F) e. SH
17	7, 4	shscl 5282	. . . . 5 |- (D +H G) e. SH
18	16, 17	shincl 5332	. . . 4 |- ((C +H F) i^i (D +H G)) e. SH
19	15, 18	shsvs 5337	. . 3 |- (((x -v f) e. ((A +H F) i^i (B +H G)) /\ (z -v f) e. ((C +H F) i^i (D +H G))) -> ((x -v f) -v (z -v f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
20	12, 19	syl 12	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +v y) = (f +v g) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> ((x -v f) -v (z -v f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))
21		hvsubsub4t 5032	. . . . . . 7 |- (((x e. H~ /\ f e. H~) /\ (z e. H~ /\ f e. H~)) -> ((x -v f) -v (z -v f)) = ((x -v z) -v (f -v f)))
22	21	anandirs 395	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -v f) -v (z -v f)) = ((x -v z) -v (f -v f)))
23		hvsubidt 5005	. . . . . . . 8 |- (f e. H~ -> (f -v f) = 0v)
24	23	opreq2d 3013	. . . . . . 7 |- (f e. H~ -> ((x -v z) -v (f -v f)) = ((x -v z) -v 0v))
25	24	adantl 305	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -v z) -v (f -v f)) = ((x -v z) -v 0v))
26		hvsubclt 4998	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> (x -v z) e. H~)
27		hvsub0t 5041	. . . . . . . 8 |- ((x -v z) e. H~ -> ((x -v z) -v 0v) = (x -v z))
28	26, 27	syl 12	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ z e. H~) -> ((x -v z) -v 0v) = (x -v z))
29	28	adantr 306	. . . . . 6 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -v z) -v 0v) = (x -v z))
30	22, 25, 29	3eqtrd 1132	. . . . 5 |- (((x e. H~ /\ z e. H~) /\ f e. H~) -> ((x -v f) -v (z -v f)) = (x -v z))
31	1	shel 5120	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x e. H~)
32	31	adantr 306	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> x e. H~)
33	6	shel 5120	. . . . . . 7 |- (z e. C -> z e. H~)
34	33	adantr 306	. . . . . 6 |- ((z e. C /\ w e. D) -> z e. H~)
35	32, 34	anim12i 268	. . . . 5 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> (x e. H~ /\ z e. H~))
36	3	shel 5120	. . . . . 6 |- (f e. F -> f e. H~)
37	36	adantr 306	. . . . 5 |- ((f e. F /\ g e. G) -> f e. H~)
38	30, 35, 37	syl2an 349	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> ((x -v f) -v (z -v f)) = (x -v z))
39	38	eleq1d 1155	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) -> (((x -v f) -v (z -v f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -v z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
40	39	adantr 306	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +v y) = (f +v g) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> (((x -v f) -v (z -v f)) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))) <-> (x -v z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G)))))
41	20, 40	mpbid 170	1 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (f e. F /\ g e. G)) /\ ((x +v y) = (f +v g) /\ (z +v w) = (f +v g))) -> (x -v z) e. (((A +H F) i^i (B +H G)) +H ((C +H F) i^i (D +H G))))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   i^i cin 1486  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959  0vc0v 4961   -v cmv 4962  SHcsh 4967   +H cph 4970

This theorem is referenced by:  5oalem4 5547

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org