Theorem abrexexlem2 2911

Description: Lemma for abrexex 2912. Almost there, but still requires that B be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
abrexexlem2.1	|- A e. V
abrexexlem2.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
abrexexlem2	|- {y | E.x e. A y = B} e. V

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B

Proof of Theorem abrexexlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
2	1	biantrur 544	. . . . . . . . . 10 |- (y = B <-> (x e. V /\ y = B))
3	2	biopabi 2103	. . . . . . . . 9 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}
4	3	fveq1i 2833	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x)
5		abrexexlem2.2	. . . . . . . . 9 |- B e. V
6		fvopab2 2878	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ B e. V) -> ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x) = B)
7	1, 5, 6	mp2an 520	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}` x) = B
8	4, 7	eqtr 1119	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | y = B}` x) = B
9	8	cleq2i 1111	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = B)
10	9	birex 1224	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.x e. A y = B)
11		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) -> A.z y = ({<.x, y>. | y = B}` x))
12		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (w e. y -> A.x w e. y)
13		hbopab1 2112	. . . . . . . 8 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.x w e. {<.x, y>. | y = B})
14		ax-17 925	. . . . . . . 8 |- (w e. z -> A.x w e. z)
15	13, 14	hbfv 2837	. . . . . . 7 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
16	12, 15	hbeq 1171	. . . . . 6 |- (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.x y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
17		fveq2 2832	. . . . . . 7 |- (x = z -> ({<.x, y>. | y = B}` x) = ({<.x, y>. | y = B}` z))
18	17	cleq2d 1112	. . . . . 6 |- (x = z -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> y = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
19	11, 16, 18	cbvrex 1332	. . . . 5 |- (E.x e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` x) <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
20	10, 19	bitr3 153	. . . 4 |- (E.x e. A y = B <-> E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
21	20	biabi 1181	. . 3 |- {y | E.x e. A y = B} = {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
22		ax-17 925	. . . 4 |- (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.wE.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z))
23		ax-17 925	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
24		ax-17 925	. . . . . 6 |- (x e. w -> A.y x e. w)
25		hbopab2 2113	. . . . . . 7 |- (w e. {<.x, y>. | y = B} -> A.y w e. {<.x, y>. | y = B})
26		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.y w e. z)
27	25, 26	hbfv 2837	. . . . . 6 |- (w e. ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w e. ({<.x, y>. | y = B}` z))
28	24, 27	hbeq 1171	. . . . 5 |- (w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.y w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
29	23, 28	hbrex 1238	. . . 4 |- (E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z) -> A.yE.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z))
30		cleq1 1107	. . . . 5 |- (y = w -> (y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
31	30	birexdv 1220	. . . 4 |- (y = w -> (E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z) <-> E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)))
32	22, 29, 31	cbvab 1423	. . 3 |- {y | E.z e. A y = ({<.x, y>. | y = B}` z)} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
33	21, 32	eqtr 1119	. 2 |- {y | E.x e. A y = B} = {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)}
34		abrexexlem2.1	. . 3 |- A e. V
35	34	abrexexlem1 2910	. 2 |- {w | E.z e. A w = ({<.x, y>. | y = B}` z)} e. V
36	33, 35	eqeltr 1159	1 |- {y | E.x e. A y = B} e. V

Syntax hints:   /\ wa 196   = weq 797   e. wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348  {copab 2055  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  abrexex 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

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