Theorem abstri 4859

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
releabs.1	|- A e. CC
abstri.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releabs.1	. . . . . . . 8 |- A e. CC
2		abstri.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
3	2	cjcl 4804	. . . . . . . 8 |- (*` B) e. CC
4	1, 3	mulcl 4105	. . . . . . 7 |- (A x. (*` B)) e. CC
5	4	releabs 4858	. . . . . 6 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ (abs` (A x. (*` B)))
6	1, 3	absmul 4846	. . . . . . 7 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` (*` B)))
7	2	abscj 4844	. . . . . . . 8 |- (abs` B) = (abs` (*` B))
8	7	opreq2i 3010	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` B)) = ((abs` A) x. (abs` (*` B)))
9	6, 8	eqtr4 1122	. . . . . 6 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
10	5, 9	breqtr 2080	. . . . 5 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B))
11		2pos 4479	. . . . . 6 |- 0 < 2
12	4	recl 4802	. . . . . . 7 |- (Re` (A x. (*` B))) e. RR
13	1	abscl 4840	. . . . . . . 8 |- (abs` A) e. RR
14	2	abscl 4840	. . . . . . . 8 |- (abs` B) e. RR
15	13, 14	remulcl 4119	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` B)) e. RR
16		2re 4470	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
17	12, 15, 16	lemul2 4396	. . . . . 6 |- (0 < 2 -> ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
18	11, 17	ax-mp 6	. . . . 5 |- ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
19	10, 18	mpbi 164	. . . 4 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))
20	16, 12	remulcl 4119	. . . . 5 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) e. RR
21	16, 15	remulcl 4119	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. RR
22	13	sqrecl 4699	. . . . . 6 |- ((abs` A)^2) e. RR
23	14	sqrecl 4699	. . . . . 6 |- ((abs` B)^2) e. RR
24	22, 23	readdcl 4118	. . . . 5 |- (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) e. RR
25	20, 21, 24	leadd2 4315	. . . 4 |- ((2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) <-> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
26	19, 25	mpbi 164	. . 3 |- ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
27	1, 2	sqabsadd 4847	. . 3 |- ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
28	13	recn 4098	. . . . 5 |- (abs` A) e. CC
29	14	recn 4098	. . . . 5 |- (abs` B) e. CC
30	28, 29	binom 4712	. . . 4 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2))
31	28	sqcl 4686	. . . . 5 |- ((abs` A)^2) e. CC
32	21	recn 4098	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. CC
33	29	sqcl 4686	. . . . 5 |- ((abs` B)^2) e. CC
34	31, 32, 33	add23 4129	. . . 4 |- ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2)) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
35	30, 34	eqtr 1119	. . 3 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
36	26, 27, 35	3brtr4 2085	. 2 |- ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)
37	1, 2	addcl 4104	. . . 4 |- (A + B) e. CC
38	37	absge0 4841	. . 3 |- 0 <_ (abs` (A + B))
39	1	absge0 4841	. . . 4 |- 0 <_ (abs` A)
40	2	absge0 4841	. . . 4 |- 0 <_ (abs` B)
41	13, 14	addge0 4324	. . . 4 |- ((0 <_ (abs` A) /\ 0 <_ (abs` B)) -> 0 <_ ((abs` A) + (abs` B)))
42	39, 40, 41	mp2an 520	. . 3 |- 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))
43	37	abscl 4840	. . . 4 |- (abs` (A + B)) e. RR
44	13, 14	readdcl 4118	. . . 4 |- ((abs` A) + (abs` B)) e. RR
45	43, 44	le2sqe 4701	. . 3 |- ((0 <_ (abs` (A + B)) /\ 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))) -> ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)))
46	38, 42, 45	mp2an 520	. 2 |- ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2))
47	36, 46	mpbir 165	1 |- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Syntax hints:   <-> wb 127   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  CCcc 4026  0cc0 4028   + caddc 4031   x. cmulc 4032   < clt 4033   <_ cle 4092  2c2 4454  ^cexp 4675  Recre 4786  *ccj 4788  abscabs 4789

This theorem is referenced by:  abs3dif 4860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793

metamath.org