Theorem ac6s 3577

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 3549, we derive this strong version of ac6 3576 that doesn't require B to be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. V
ac6s.2	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6s	|- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Distinct variable group(s):   x,y,f,A   x,B,y,f   ph,f   ps,y

Proof of Theorem ac6s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 |- A e. V
2	1	bnd2 3549	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
3		visset 1350	. . . . . 6 |- z e. V
4		ac6s.2	. . . . . 6 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
5	1, 3, 4	ac6 3576	. . . . 5 |- (A.x e. A E.y e. z ph -> E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps))
6	5	anim2i 270	. . . 4 |- ((z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> (z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)))
7	6	19.22i 723	. . 3 |- (E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> E.z(z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)))
8		fss 2759	. . . . . . . . 9 |- ((f:A-->z /\ z (_ B) -> f:A-->B)
9	8	exp 291	. . . . . . . 8 |- (f:A-->z -> (z (_ B -> f:A-->B))
10	9	com12 13	. . . . . . 7 |- (z (_ B -> (f:A-->z -> f:A-->B))
11	10	anim1d 432	. . . . . 6 |- (z (_ B -> ((f:A-->z /\ A.x e. A ps) -> (f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
12	11	19.22dv 947	. . . . 5 |- (z (_ B -> (E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
13	12	imp 277	. . . 4 |- ((z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
14	13	19.23aiv 952	. . 3 |- (E.z(z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
15	7, 14	syl 12	. 2 |- (E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
16	2, 15	syl 12	1 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   (_ wss 1487  -->wf 2418  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  ac6s2 3578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-iin 1997  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org