Theorem aceq0 3553

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 1080.

Assertion

Ref	Expression
aceq0	|- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem aceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq1 3552	. 2 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
2		eqt2b 818	. . . . . . . . . 10 |- (v = x -> (u = v <-> u = x))
3	2	bibi2d 470	. . . . . . . . 9 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x)))
4		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (w e. t <-> w e. x))
5	4	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. w /\ w e. t) <-> (u e. w /\ w e. x)))
6		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (u e. t <-> u e. x))
7		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (t e. y <-> x e. y))
8	6, 7	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. t /\ t e. y) <-> (u e. x /\ x e. y)))
9	5, 8	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 |- (t = x -> (((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> ((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y))))
10	9	cbvexv 973	. . . . . . . . . 10 |- (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)))
11	10	bibi1i 461	. . . . . . . . 9 |- ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x))
12	3, 11	syl6bb 414	. . . . . . . 8 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
13	12	bialdv 935	. . . . . . 7 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
14		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. w <-> z e. w))
15	14	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x)))
16		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. x <-> z e. x))
17	16	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. x /\ x e. y) <-> (z e. x /\ x e. y)))
18	15, 17	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> (((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> ((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
19	18	biexdv 936	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
20		a8b 817	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = x <-> z = x))
21	19, 20	bibi12d 477	. . . . . . . 8 |- (u = z -> ((E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
22	21	cbvalv 972	. . . . . . 7 |- (A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
23	13, 22	syl6bb 414	. . . . . 6 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
24	23	cbvexv 973	. . . . 5 |- (E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
25	24	imbi2i 160	. . . 4 |- (((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
26	25	bi2al 696	. . 3 |- (A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
27	26	biex 733	. 2 |- (E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
28	1, 27	bitr4 154	1 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803  A.wral 1201  E.wrex 1202  E!wreu 1203

This theorem is referenced by:  ac2 3567

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207

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