Theorem aceq2 3554

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq2	|- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u

Proof of Theorem aceq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.2i 149	. . . . 5 |- (w = t -> (E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
2	1	cbvralv 1333	. . . 4 |- (A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))
3		df-ral 1205	. . . . . 6 |- (A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.t(t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
4		19.23v 950	. . . . . 6 |- (A.t(t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)) <-> (E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 |- (A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> (E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
6		n0 1714	. . . . . . 7 |- (-. z = (/) <-> E.t t e. z)
7		eleq2 1150	. . . . . . . . . . 11 |- (v = u -> (z e. v <-> z e. u))
8		eleq2 1150	. . . . . . . . . . 11 |- (v = u -> (w e. v <-> w e. u))
9	7, 8	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 |- (v = u -> ((z e. v /\ w e. v) <-> (z e. u /\ w e. u)))
10	9	cbvrexv 1334	. . . . . . . . 9 |- (E.v e. y (z e. v /\ w e. v) <-> E.u e. y (z e. u /\ w e. u))
11	10	bireu 1320	. . . . . . . 8 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) <-> E!w e. z E.u e. y (z e. u /\ w e. u))
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 |- (w = v -> (w e. u <-> v e. u))
13	12	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 |- (w = v -> ((z e. u /\ w e. u) <-> (z e. u /\ v e. u)))
14	13	birexdv 1220	. . . . . . . . 9 |- (w = v -> (E.u e. y (z e. u /\ w e. u) <-> E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
15	14	cbvreuv 1335	. . . . . . . 8 |- (E!w e. z E.u e. y (z e. u /\ w e. u) <-> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))
16	11, 15	bitr 151	. . . . . . 7 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) <-> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u))
17	6, 16	imbi12i 163	. . . . . 6 |- ((-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) <-> (E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)))
18	17	bicomi 150	. . . . 5 |- ((E.t t e. z -> E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)) <-> (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
19	5, 18	bitr 151	. . . 4 |- (A.t e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
20	2, 19	bitr 151	. . 3 |- (A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
21	20	biral 1223	. 2 |- (A.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
22	21	biex 733	1 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091  A.wral 1201  E.wrex 1202  E!wreu 1203  (/)c0 1707

This theorem is referenced by:  aceq7 3566  ac3 3568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708

metamath.org