Theorem aceq5lem2 3559

Description: Lemma for aceq5 3563.

Hypothesis

Ref	Expression
aceq5lem.1	|- A = {u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}

Assertion

Ref	Expression
aceq5lem2	|- (<.w, g>. e. U.A <-> (w e. h /\ g e. w))

Distinct variable group(s):   w,u,t,h,g   w,A,g

Proof of Theorem aceq5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5lem.1	. . . 4 |- A = {u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
2	1	unieqi 1928	. . 3 |- U.A = U.{u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
3	2	eleq2i 1153	. 2 |- (<.w, g>. e. U.A <-> <.w, g>. e. U.{u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))})
4		eluniab 1926	. . 3 |- (<.w, g>. e. U.{u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))} <-> E.u(<.w, g>. e. u /\ (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))))
5		r19.42v 1303	. . . . 5 |- (E.t e. h ((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> ((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ E.t e. h u = ({t} X. t)))
6		anass 336	. . . . 5 |- (((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ E.t e. h u = ({t} X. t)) <-> (<.w, g>. e. u /\ (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))))
7	5, 6	bitr2 152	. . . 4 |- ((<.w, g>. e. u /\ (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))) <-> E.t e. h ((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)))
8	7	biex 733	. . 3 |- (E.u(<.w, g>. e. u /\ (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))) <-> E.uE.t e. h ((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)))
9		rexcom4 1361	. . . 4 |- (E.t e. h E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> E.uE.t e. h ((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)))
10		df-rex 1206	. . . 4 |- (E.t e. h E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> E.t(t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))))
11	9, 10	bitr3 153	. . 3 |- (E.uE.t e. h ((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> E.t(t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))))
12	4, 8, 11	3bitr 155	. 2 |- (<.w, g>. e. U.{u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))} <-> E.t(t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))))
13		ancom 333	. . . . . . . . 9 |- (((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> (u = ({t} X. t) /\ (<.w, g>. e. u /\ -. u = (/))))
14		n0i 1712	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. u -> -. u = (/))
15	14	pm4.71i 483	. . . . . . . . . 10 |- (<.w, g>. e. u <-> (<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)))
16	15	anbi2i 367	. . . . . . . . 9 |- ((u = ({t} X. t) /\ <.w, g>. e. u) <-> (u = ({t} X. t) /\ (<.w, g>. e. u /\ -. u = (/))))
17	13, 16	bitr4 154	. . . . . . . 8 |- (((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> (u = ({t} X. t) /\ <.w, g>. e. u))
18	17	biex 733	. . . . . . 7 |- (E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> E.u(u = ({t} X. t) /\ <.w, g>. e. u))
19		snex 1859	. . . . . . . . 9 |- {t} e. V
20		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- t e. V
21	19, 20	xpex 2488	. . . . . . . 8 |- ({t} X. t) e. V
22		eleq2 1150	. . . . . . . 8 |- (u = ({t} X. t) -> (<.w, g>. e. u <-> <.w, g>. e. ({t} X. t)))
23	21, 22	ceqsexv 1371	. . . . . . 7 |- (E.u(u = ({t} X. t) /\ <.w, g>. e. u) <-> <.w, g>. e. ({t} X. t))
24	18, 23	bitr 151	. . . . . 6 |- (E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t)) <-> <.w, g>. e. ({t} X. t))
25	24	anbi2i 367	. . . . 5 |- ((t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))) <-> (t e. h /\ <.w, g>. e. ({t} X. t)))
26		visset 1350	. . . . . . . 8 |- g e. V
27	26	opelxp 2452	. . . . . . 7 |- (<.w, g>. e. ({t} X. t) <-> (w e. {t} /\ g e. t))
28		elsn 1820	. . . . . . . . 9 |- (w e. {t} <-> w = t)
29		cleqcom 1103	. . . . . . . . 9 |- (w = t <-> t = w)
30	28, 29	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (w e. {t} <-> t = w)
31	30	anbi1i 368	. . . . . . 7 |- ((w e. {t} /\ g e. t) <-> (t = w /\ g e. t))
32	27, 31	bitr 151	. . . . . 6 |- (<.w, g>. e. ({t} X. t) <-> (t = w /\ g e. t))
33	32	anbi2i 367	. . . . 5 |- ((t e. h /\ <.w, g>. e. ({t} X. t)) <-> (t e. h /\ (t = w /\ g e. t)))
34		an12 370	. . . . 5 |- ((t e. h /\ (t = w /\ g e. t)) <-> (t = w /\ (t e. h /\ g e. t)))
35	25, 33, 34	3bitr 155	. . . 4 |- ((t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))) <-> (t = w /\ (t e. h /\ g e. t)))
36	35	biex 733	. . 3 |- (E.t(t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))) <-> E.t(t = w /\ (t e. h /\ g e. t)))
37		visset 1350	. . . 4 |- w e. V
38		eleq1 1149	. . . . 5 |- (t = w -> (t e. h <-> w e. h))
39		eleq2 1150	. . . . 5 |- (t = w -> (g e. t <-> g e. w))
40	38, 39	anbi12d 476	. . . 4 |- (t = w -> ((t e. h /\ g e. t) <-> (w e. h /\ g e. w)))
41	37, 40	ceqsexv 1371	. . 3 |- (E.t(t = w /\ (t e. h /\ g e. t)) <-> (w e. h /\ g e. w))
42	36, 41	bitr 151	. 2 |- (E.t(t e. h /\ E.u((<.w, g>. e. u /\ -. u = (/)) /\ u = ({t} X. t))) <-> (w e. h /\ g e. w))
43	3, 12, 42	3bitr 155	1 |- (<.w, g>. e. U.A <-> (w e. h /\ g e. w))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  aceq5lem5 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org