Theorem aceq5lem5 3562

Description: Lemma for aceq5 3563.

Hypotheses

Ref	Expression
aceq5lem.1	|- A = {u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
aceq5lem.2	|- B = (U.A i^i y)
aceq5lem.3	|- (ph <-> A.x((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))

Assertion

Ref	Expression
aceq5lem5	|- (ph -> E.fA.w e. h (-. w = (/) -> (f` w) e. w))

Distinct variable group(s):   x,f,z,y,w,v,u,t,h   z,B,w,f   x,A,y,z,w

Proof of Theorem aceq5lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5lem.1	. . 3 |- A = {u | (-. u = (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
2		aceq5lem.2	. . 3 |- B = (U.A i^i y)
3		aceq5lem.3	. . 3 |- (ph <-> A.x((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
4	1, 2, 3	aceq5lem4 3561	. 2 |- (ph -> E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y))
5		pm3.27 260	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. w = (/) /\ w e. h) -> w e. h)
6	5	a1i 7	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((-. w = (/) /\ w e. h) -> w e. h))
7		ineq1 1638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = ({w} X. w) -> (z i^i y) = (({w} X. w) i^i y))
8	7	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = ({w} X. w) -> (v e. (z i^i y) <-> v e. (({w} X. w) i^i y)))
9	8	bieudv 1013	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = ({w} X. w) -> (E!v v e. (z i^i y) <-> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
10	9	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (({w} X. w) e. A -> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
11	1	aceq5lem3 3560	. . . . . . . . . . 11 |- (({w} X. w) e. A <-> (-. w = (/) /\ w e. h))
12		aceq5lem1 3558	. . . . . . . . . . 11 |- (E!v v e. (({w} X. w) i^i y) <-> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))
13	10, 11, 12	3imtr3g 425	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((-. w = (/) /\ w e. h) -> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
14	6, 13	jcad 455	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((-. w = (/) /\ w e. h) -> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))))
15	2	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B <-> <.w, g>. e. (U.A i^i y))
16		elin 1635	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. (U.A i^i y) <-> (<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y))
17	1	aceq5lem2 3559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.w, g>. e. U.A <-> (w e. h /\ g e. w))
18	17	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> ((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y))
19		anass 336	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
20	18, 19	bitr 151	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
21	15, 16, 20	3bitr 155	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
22	21	bieu 1014	. . . . . . . . . 10 |- (E!g<.w, g>. e. B <-> E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
23		euanv 1053	. . . . . . . . . 10 |- (E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
24	22, 23	bitr2 152	. . . . . . . . 9 |- ((w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> E!g<.w, g>. e. B)
25	14, 24	syl6ib 185	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((-. w = (/) /\ w e. h) -> E!g<.w, g>. e. B))
26		euex 1021	. . . . . . . . 9 |- (E!g<.w, g>. e. B -> E.g<.w, g>. e. B)
27		hbeu1 1015	. . . . . . . . . . 11 |- (E!g<.w, g>. e. B -> A.gE!g<.w, g>. e. B)
28		ax-17 925	. . . . . . . . . . 11 |- ((B` w) e. w -> A.g(B` w) e. w)
29	27, 28	hbim 702	. . . . . . . . . 10 |- ((E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w) -> A.g(E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
30	21	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B -> (g e. w /\ <.w, g>. e. y))
31	30	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B -> g e. w)
32		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. V
33	32	tz6.12 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> (B` w) = g)
34	33	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> ((B` w) e. w <-> g e. w))
35	34	biimparc 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ((g e. w /\ (<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B)) -> (B` w) e. w)
36	35	exp32 294	. . . . . . . . . . 11 |- (g e. w -> (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)))
37	31, 36	mpcom 49	. . . . . . . . . 10 |- (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
38	29, 37	19.23ai 746	. . . . . . . . 9 |- (E.g<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
39	26, 38	mpcom 49	. . . . . . . 8 |- (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)
40	25, 39	syl6 23	. . . . . . 7 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((-. w = (/) /\ w e. h) -> (B` w) e. w))
41	40	exp3a 292	. . . . . 6 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (-. w = (/) -> (w e. h -> (B` w) e. w)))
42	41	com23 32	. . . . 5 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w e. h -> (-. w = (/) -> (B` w) e. w)))
43	42	r19.21aiv 1259	. . . 4 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> A.w e. h (-. w = (/) -> (B` w) e. w))
44		visset 1350	. . . . . . 7 |- y e. V
45	44	inex2 1698	. . . . . 6 |- (U.A i^i y) e. V
46	2, 45	eqeltr 1159	. . . . 5 |- B e. V
47		fveq1 2831	. . . . . . . 8 |- (f = B -> (f` w) = (B` w))
48	47	eleq1d 1155	. . . . . . 7 |- (f = B -> ((f` w) e. w <-> (B` w) e. w))
49	48	imbi2d 464	. . . . . 6 |- (f = B -> ((-. w = (/) -> (f` w) e. w) <-> (-. w = (/) -> (B` w) e. w)))
50	49	biraldv 1219	. . . . 5 |- (f = B -> (A.w e. h (-. w = (/) -> (f` w) e. w) <-> A.w e. h (-. w = (/) -> (B` w) e. w)))
51	46, 50	cla4ev 1401	. . . 4 |- (A.w e. h (-. w = (/) -> (B` w) e. w) -> E.fA.w e. h (-. w = (/) -> (f` w) e. w))
52	43, 51	syl 12	. . 3 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (-. w = (/) -> (f` w) e. w))
53	52	19.23aiv 952	. 2 |- (E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (-. w = (/) -> (f` w) e. w))
54	4, 53	syl 12	1 |- (ph -> E.fA.w e. h (-. w = (/) -> (f` w) e. w))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803  E!weu 1007  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919   X. cxp 2408  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  aceq5 3563

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org