Theorem aceq6a 3564

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 3568) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See aceq6b 3565 for the converse (which does use the Axiom of Regularity).

Assertion

Ref	Expression
aceq6a	|- (A.xE.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Distinct variable group(s):   x,z,f,y,w,v

Proof of Theorem aceq6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (w e. u <-> w e. z))
2		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = z -> (u e. v <-> z e. v))
3	2	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = z -> ((u e. v /\ w e. v) <-> (z e. v /\ w e. v)))
4	3	birexdv 1220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (E.v e. y (u e. v /\ w e. v) <-> E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	1, 4	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = z -> ((w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v)) <-> (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))))
6	5	biabdv 1183	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))})
7		df-rab 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))}
8		df-rab 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1147	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
10	9	unieqd 1929	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
11		cleqid 1102	. . . . . . . . . 10 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}
12		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
13	12	rabex 1706	. . . . . . . . . . 11 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
14	13	uniex 1947	. . . . . . . . . 10 |- U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
15	10, 11, 14	fvopab4 2871	. . . . . . . . 9 |- (z e. x -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
16	15	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 |- (z e. x -> (({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z <-> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z))
17		reucl 1957	. . . . . . . 8 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z)
18	16, 17	syl5bir 184	. . . . . . 7 |- (z e. x -> (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
19	18	syl3d 26	. . . . . 6 |- (z e. x -> ((-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> (-. z = (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
20	19	r19.20i 1253	. . . . 5 |- (A.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.z e. x (-. z = (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
21		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
22		moeq 1431	. . . . . . . 8 |- E*g g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)}
23	22	a1i 7	. . . . . . 7 |- (u e. x -> E*g g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})
24	21, 23	funopabex 2742	. . . . . 6 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} e. V
25		fveq1 2831	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (f` z) = ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z))
26	25	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((f` z) e. z <-> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
27	26	imbi2d 464	. . . . . . 7 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((-. z = (/) -> (f` z) e. z) <-> (-. z = (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
28	27	biraldv 1219	. . . . . 6 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (A.z e. x (-. z = (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (-. z = (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
29	24, 28	cla4ev 1401	. . . . 5 |- (A.z e. x (-. z = (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z) -> E.fA.z e. x (-. z = (/) -> (f` z) e. z))
30	20, 29	syl 12	. . . 4 |- (A.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (-. z = (/) -> (f` z) e. z))
31	30	19.23aiv 952	. . 3 |- (E.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (-. z = (/) -> (f` z) e. z))
32	31	19.20i 691	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.fA.z e. x (-. z = (/) -> (f` z) e. z))
33		aceq3 3556	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.fA.z e. x (-. z = (/) -> (f` z) e. z))
34	32, 33	sylibr 175	1 |- (A.xE.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803  E*wmo 1008  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  E!wreu 1203  {crab 1204   (_ wss 1487  (/)c0 1707  U.cuni 1919  {copab 2055  dom cdm 2410   Fn wfn 2417  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  aceq7 3566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

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