Theorem aceqkm 3596

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and Maes' AC ackm 3597. The proof consists of lemmas kmlem1 3580 through kmlem16 3595 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing aceq5 3563 with pm4.2 148) establishes the AC equivalence shown by Mae's writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display.

Assertion

Ref	Expression
aceqkm	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,v,u,f

Proof of Theorem aceqkm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 3563	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.x((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
2		cleqid 1102	. . . 4 |- {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))} = {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))}
3	2	kmlem12 3591	. . 3 |- (A.x((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!v v e. (z i^i y))))
4		kmlem13 3592	. . . 4 |- ((-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> (E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
5	4	bial 695	. . 3 |- (A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (-. z = (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
6	3, 5	bitr 151	. 2 |- (A.x((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
7		pm4.2 148	. . . 4 |- ((z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v)) <-> (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v)))
8		pm4.2 148	. . . 4 |- ((z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))) <-> (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))
9		pm4.2 148	. . . 4 |- (A.z e. x E!v v e. (z i^i y) <-> A.z e. x E!v v e. (z i^i y))
10	7, 8, 9	kmlem16 3595	. . 3 |- ((E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> E.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
11	10	bial 695	. 2 |- (A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
12	1, 6, 11	3bitr 155	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803  E!weu 1007  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   \ cdif 1484   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {csn 1808  U.cuni 1919  dom cdm 2410   Fn wfn 2417

This theorem is referenced by:  ackm 3597

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org