Theorem addasspi 3817

Description: Addition of positive integers is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspi.1	|- B e. V
addasspi.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasspi	|- ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C))

Proof of Theorem addasspi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaass 3179	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A +o B) +o C) = (A +o (B +o C)))
2		pinn 3800	. . . 4 |- (A e. N. -> A e. om)
3		pinn 3800	. . . 4 |- (B e. N. -> B e. om)
4		pinn 3800	. . . 4 |- (C e. N. -> C e. om)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 628	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +o B) +o C) = (A +o (B +o C)))
6		addpiord 3806	. . . . . 6 |- (((A +N B) e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +N B) +o C))
7		addclpi 3814	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) e. N.)
8	6, 7	sylan 343	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +N B) +o C))
9		addpiord 3806	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
10	9	opreq1d 3012	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) +o C) = ((A +o B) +o C))
11	10	adantr 306	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A +N B) +o C) = ((A +o B) +o C))
12	8, 11	eqtrd 1128	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +o B) +o C))
13	12	3impa 609	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = ((A +o B) +o C))
14		addpiord 3806	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ (B +N C) e. N.) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +N C)))
15		addclpi 3814	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) e. N.)
16	14, 15	sylan2 346	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +N C)))
17		addpiord 3806	. . . . . . 7 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) = (B +o C))
18	17	opreq2d 3013	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (A +o (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
19	18	adantl 305	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A +o (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
20	16, 19	eqtrd 1128	. . . 4 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
21	20	3impb 610	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A +N (B +N C)) = (A +o (B +o C)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 1134	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C)))
23		addasspi.1	. . 3 |- B e. V
24		dmaddpi 3812	. . 3 |- dom +N = (N. X. N.)
25		addasspi.2	. . 3 |- C e. V
26		0npi 3804	. . 3 |- -. (/) e. N.
27	23, 24, 25, 26	ndmoprass 3062	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C)))
28	22, 27	pm2.61i 110	1 |- ((A +N B) +N C) = (A +N (B +N C))

Syntax hints:   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  omcom 2372  (class class class)co 3001   +o coa 3101  N.cnpi 3766   +N cpli 3767

This theorem is referenced by:  addasspq 3857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-ni 3794  df-pli 3795

metamath.org