Theorem addasspq 3857

Description: Addition of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspq.1	|- B e. V
addasspq.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasspq	|- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Proof of Theorem addasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		addpipq 3848	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q )
3		addpipq 3848	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q )
4		addpipq 3848	. . 3 |- (((((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.((x .N w) +N (y .N z)), (y .N w)>.] ~Q +Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)), ((y .N w) .N u)>.] ~Q )
5		addpipq 3848	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q +Q [<.((z .N u) +N (w .N v)), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
6		addclpi 3814	. . . . . 6 |- (((x .N w) e. N. /\ (y .N z) e. N.) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
7		mulclpi 3815	. . . . . 6 |- ((x e. N. /\ w e. N.) -> (x .N w) e. N.)
8		mulclpi 3815	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y .N z) e. N.)
9	6, 7, 8	syl2an 349	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ w e. N.) /\ (y e. N. /\ z e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
10	9	an42s 391	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N w) +N (y .N z)) e. N.)
11		mulclpi 3815	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
12	11	adantl 305	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ z e. N.) /\ (y e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
13	12	an4s 390	. . . 4 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (y .N w) e. N.)
14	10, 13	jca 236	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (((x .N w) +N (y .N z)) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
15		addclpi 3814	. . . . . 6 |- (((z .N u) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
16		mulclpi 3815	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ u e. N.) -> (z .N u) e. N.)
17		mulclpi 3815	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
18	15, 16, 17	syl2an 349	. . . . 5 |- (((z e. N. /\ u e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
19	18	an42s 391	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N u) +N (w .N v)) e. N.)
20		mulclpi 3815	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
21	20	adantl 305	. . . . 5 |- (((z e. N. /\ v e. N.) /\ (w e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N u) e. N.)
22	21	an4s 390	. . . 4 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N u) e. N.)
23	19, 22	jca 236	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (((z .N u) +N (w .N v)) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
24		oprex 3018	. . . . 5 |- (y .N (z .N u)) e. V
25		oprex 3018	. . . . 5 |- (y .N (w .N v)) e. V
26	24, 25	addasspi 3817	. . . 4 |- (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
27		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
28		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
29		visset 1350	. . . . . 6 |- w e. V
30		visset 1350	. . . . . . 7 |- f e. V
31		visset 1350	. . . . . . 7 |- g e. V
32	30, 31	mulcompi 3818	. . . . . 6 |- (f .N g) = (g .N f)
33		visset 1350	. . . . . . 7 |- h e. V
34	31, 33	distrpi 3820	. . . . . 6 |- (f .N (g +N h)) = ((f .N g) +N (f .N h))
35		visset 1350	. . . . . 6 |- z e. V
36		visset 1350	. . . . . 6 |- u e. V
37	31, 33	mulasspi 3819	. . . . . 6 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
38	27, 28, 29, 32, 34, 35, 36, 37	caoprdilem 3082	. . . . 5 |- (((x .N w) +N (y .N z)) .N u) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u)))
39		visset 1350	. . . . . 6 |- v e. V
40	29, 39	mulasspi 3819	. . . . 5 |- ((y .N w) .N v) = (y .N (w .N v))
41	38, 40	opreq12i 3011	. . . 4 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = (((x .N (w .N u)) +N (y .N (z .N u))) +N (y .N (w .N v)))
42		oprex 3018	. . . . . 6 |- (z .N u) e. V
43		oprex 3018	. . . . . 6 |- (w .N v) e. V
44	42, 43	distrpi 3820	. . . . 5 |- (y .N ((z .N u) +N (w .N v))) = ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v)))
45	44	opreq2i 3010	. . . 4 |- ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v)))) = ((x .N (w .N u)) +N ((y .N (z .N u)) +N (y .N (w .N v))))
46	26, 41, 45	3eqtr4 1126	. . 3 |- ((((x .N w) +N (y .N z)) .N u) +N ((y .N w) .N v)) = ((x .N (w .N u)) +N (y .N ((z .N u) +N (w .N v))))
47	29, 36	mulasspi 3819	. . 3 |- ((y .N w) .N u) = (y .N (w .N u))
48	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 46, 47	ecoprass 3256	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
49		addasspq.1	. . 3 |- B e. V
50		dmaddpq 3853	. . 3 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
51		addasspq.2	. . 3 |- C e. V
52		0npq 3844	. . 3 |- -. (/) e. Q.
53	49, 50, 51, 52	ndmoprass 3062	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
54	48, 53	pm2.61i 110	1 |- ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Syntax hints:   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  N.cnpi 3766   +N cpli 3767   .N cmi 3768   ~Q ceq 3772  Q.cnq 3773   +Q cplq 3775

This theorem is referenced by:  ltaddpq 3873  ltbtwnpq 3878  addasspr 3918  prlem934a 3931  ltexprlem7 3942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-plpq 3829  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833

metamath.org