Theorem addasssr 3991

Description: Addition of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasssr.1	|- B e. V
addasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
addasssr	|- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Proof of Theorem addasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		addsrpr 3978	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.z, w>.] ~R ) = [<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R )
3		addsrpr 3978	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R )
4		addsrpr 3978	. . 3 |- ((((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.(x +P. z), (y +P. w)>.] ~R +R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((x +P. z) +P. v), ((y +P. w) +P. u)>.] ~R )
5		addsrpr 3978	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R +R [<.(z +P. v), (w +P. u)>.] ~R ) = [<.(x +P. (z +P. v)), (y +P. (w +P. u))>.] ~R )
6		addclpr 3914	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x +P. z) e. P.)
7		addclpr 3914	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y +P. w) e. P.)
8	6, 7	anim12i 268	. . . 4 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
9	8	an4s 390	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x +P. z) e. P. /\ (y +P. w) e. P.))
10		addclpr 3914	. . . . 5 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z +P. v) e. P.)
11		addclpr 3914	. . . . 5 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w +P. u) e. P.)
12	10, 11	anim12i 268	. . . 4 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
13	12	an4s 390	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z +P. v) e. P. /\ (w +P. u) e. P.))
14		visset 1350	. . . 4 |- z e. V
15		visset 1350	. . . 4 |- v e. V
16	14, 15	addasspr 3918	. . 3 |- ((x +P. z) +P. v) = (x +P. (z +P. v))
17		visset 1350	. . . 4 |- w e. V
18		visset 1350	. . . 4 |- u e. V
19	17, 18	addasspr 3918	. . 3 |- ((y +P. w) +P. u) = (y +P. (w +P. u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 3256	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
21		addasssr.1	. . 3 |- B e. V
22		dmaddsr 3988	. . 3 |- dom +R = (R. X. R.)
23		addasssr.2	. . 3 |- C e. V
24		0nsr 3982	. . 3 |- -. (/) e. R.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 3062	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C)))
26	20, 25	pm2.61i 110	1 |- ((A +R B) +R C) = (A +R (B +R C))

Syntax hints:   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  P.cnp 3779   +P. cpp 3781   ~R cer 3786  R.cnr 3787   +R cplr 3791

This theorem is referenced by:  supsrlem2 4020  axaddass 4072  axmulass 4073  axdistr 4074

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962

metamath.org