Theorem addcj 4828

Description: A number plus its conjugate is twice its real part. Compare Proposition 10-3.4(h) of [Gleason] p. 133.

Hypothesis

Ref	Expression
cjcj.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
addcj	|- (A + (*` A)) = (2 x. (Re` A))

Proof of Theorem addcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj.1	. . . . . 6 |- A e. CC
2	1	recl 4802	. . . . 5 |- (Re` A) e. RR
3	2	recn 4098	. . . 4 |- (Re` A) e. CC
4	1	imcl 4803	. . . . . 6 |- (Im` A) e. RR
5	4	recn 4098	. . . . 5 |- (Im` A) e. CC
6		axicn 4065	. . . . 5 |- i e. CC
7	5, 6	mulcl 4105	. . . 4 |- ((Im` A) x. i) e. CC
8	7	negcl 4142	. . . 4 |- -u((Im` A) x. i) e. CC
9	3, 7, 3, 8	add4 4130	. . 3 |- (((Re` A) + ((Im` A) x. i)) + ((Re` A) + -u((Im` A) x. i))) = (((Re` A) + (Re` A)) + (((Im` A) x. i) + -u((Im` A) x. i)))
10	7	negid 4147	. . . 4 |- (((Im` A) x. i) + -u((Im` A) x. i)) = 0
11	10	opreq2i 3010	. . 3 |- (((Re` A) + (Re` A)) + (((Im` A) x. i) + -u((Im` A) x. i))) = (((Re` A) + (Re` A)) + 0)
12	3, 3	addcl 4104	. . . 4 |- ((Re` A) + (Re` A)) e. CC
13	12	addid1 4112	. . 3 |- (((Re` A) + (Re` A)) + 0) = ((Re` A) + (Re` A))
14	9, 11, 13	3eqtr 1123	. 2 |- (((Re` A) + ((Im` A) x. i)) + ((Re` A) + -u((Im` A) x. i))) = ((Re` A) + (Re` A))
15	1	replim 4805	. . 3 |- A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i))
16		cjvalt 4799	. . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - ((Im` A) x. i)))
17	1, 16	ax-mp 6	. . . 4 |- (*` A) = ((Re` A) - ((Im` A) x. i))
18	3, 7	subneg 4148	. . . 4 |- ((Re` A) - ((Im` A) x. i)) = ((Re` A) + -u((Im` A) x. i))
19	17, 18	eqtr 1119	. . 3 |- (*` A) = ((Re` A) + -u((Im` A) x. i))
20	15, 19	opreq12i 3011	. 2 |- (A + (*` A)) = (((Re` A) + ((Im` A) x. i)) + ((Re` A) + -u((Im` A) x. i)))
21	3	2times 4489	. 2 |- (2 x. (Re` A)) = ((Re` A) + (Re` A))
22	14, 20, 21	3eqtr4 1126	1 |- (A + (*` A)) = (2 x. (Re` A))

Syntax hints:   = wceq 1091   e. wcel 1092  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  CCcc 4026  0cc0 4028  ici 4030   + caddc 4031   x. cmulc 4032   - cmin 4089  -ucneg 4090  2c2 4454  Recre 4786  Imcim 4787  *ccj 4788

This theorem is referenced by:  sqabsadd 4847

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-2 4462  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792

metamath.org