Theorem addclpi 3814

Description: Closure of addition of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
addclpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) e. N.)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 3806	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
2		nnacl 3172	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
3		pinn 3800	. . . . . 6 |- (B e. N. -> B e. om)
4	2, 3	sylan2 346	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> (A +o B) e. om)
5		nnaordi 3176	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> (A +o (/)) e. (A +o B)))
6		n0i 1712	. . . . . . . . . 10 |- ((A +o (/)) e. (A +o B) -> -. (A +o B) = (/))
7	5, 6	syl6 23	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = (/)))
8	7	exp 291	. . . . . . . 8 |- (B e. om -> (A e. om -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = (/))))
9	8	com12 13	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (B e. om -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = (/))))
10	9	imp32 281	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ (B e. om /\ (/) e. B)) -> -. (A +o B) = (/))
11		elni2 3799	. . . . . 6 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
12	10, 11	sylan2b 347	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> -. (A +o B) = (/))
13	4, 12	jca 236	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> ((A +o B) e. om /\ -. (A +o B) = (/)))
14		elni 3798	. . . 4 |- ((A +o B) e. N. <-> ((A +o B) e. om /\ -. (A +o B) = (/)))
15	13, 14	sylibr 175	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> (A +o B) e. N.)
16		pinn 3800	. . 3 |- (A e. N. -> A e. om)
17	15, 16	sylan 343	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +o B) e. N.)
18	1, 17	eqeltrd 1163	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) e. N.)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  omcom 2372  (class class class)co 3001   +o coa 3101  N.cnpi 3766   +N cpli 3767

This theorem is referenced by:  addasspi 3817  distrpi 3820  ltapi 3824  1lt2pi 3826  indpi 3828  addcmpblnq 3846  addclpq 3852  addasspq 3857  distrpq 3861  ltexpq 3874  halfpq 3876

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-ni 3794  df-pli 3795

metamath.org