Theorem addclpr 3914

Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123.

Assertion

Ref	Expression
addclpr	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) e. P.)

Proof of Theorem addclpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 3882	. 2 |- +P. = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (y +Q z)})}
2		addclpq 3852	. 2 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (x +Q y) e. Q.)
3		visset 1350	. . 3 |- f e. V
4		visset 1350	. . 3 |- g e. V
5	3, 4	ltapq 3870	. 2 |- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (h +Q f) <Q (h +Q g)))
6		visset 1350	. . 3 |- x e. V
7		visset 1350	. . 3 |- y e. V
8	6, 7	addcompq 3856	. 2 |- (x +Q y) = (y +Q x)
9		addclprlem2 3913	. 2 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g +Q h) -> x e. (A +P. B)))
10	1, 2, 5, 8, 9	genpcl 3905	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) e. P.)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  (class class class)co 3001   +Q cplq 3775  P.cnp 3779   +P. cpp 3781

This theorem is referenced by:  addasspr 3918  distrlem1pr 3921  distrlem2pr 3922  distrlem4pr 3924  ltaddpr 3934  ltexprlem7 3942  ltaprlem 3944  ltapr 3945  addcanpr 3946  enrer 3970  addcmpblnr 3975  mulcmpblnr 3977  ltsrpr 3980  1r 3984  m1r 3985  addclsr 3986  mulclsr 3987  addasssr 3991  mulasssr 3993  distrsr 3994  m1p1sr 3995  m1m1sr 3996  ltsosr 3997  0lt1sr 3998  0idsr 4000  1idsr 4001  00sr 4002  ltasr 4003  recexsrlem 4006  mulgt0sr 4008  mappsrpr 4012  map2psrpr 4014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882

metamath.org