Theorem addnidpi 3822

Description: There is no identity element for addition on positive integers.

Hypothesis

Ref	Expression
addnidpi.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
addnidpi	|- (A e. N. -> -. (A +N B) = A)

Proof of Theorem addnidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 3176	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> (A +o (/)) e. (A +o B)))
2		nna0 3166	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. om -> (A +o (/)) = A)
3	2	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. om -> ((A +o (/)) e. (A +o B) <-> A e. (A +o B)))
4		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A +o B) = A -> (A e. (A +o B) <-> A e. A))
5	4	negbid 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A +o B) = A -> (-. A e. (A +o B) <-> -. A e. A))
6		nnord 2381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. om -> Ord A)
7		ordeirr 2217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Ord A -> -. A e. A)
8	6, 7	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. om -> -. A e. A)
9	5, 8	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A +o B) = A -> (A e. om -> -. A e. (A +o B)))
10	9	com12 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. om -> ((A +o B) = A -> -. A e. (A +o B)))
11	10	con2d 83	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. om -> (A e. (A +o B) -> -. (A +o B) = A))
12	3, 11	sylbid 178	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. om -> ((A +o (/)) e. (A +o B) -> -. (A +o B) = A))
13	12	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((A +o (/)) e. (A +o B) -> -. (A +o B) = A))
14	1, 13	syld 27	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = A))
15	14	exp 291	. . . . . . . 8 |- (B e. om -> (A e. om -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = A)))
16	15	com12 13	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (B e. om -> ((/) e. B -> -. (A +o B) = A)))
17	16	imp32 281	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ (B e. om /\ (/) e. B)) -> -. (A +o B) = A)
18		elni2 3799	. . . . . 6 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
19	17, 18	sylan2b 347	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. N.) -> -. (A +o B) = A)
20		pinn 3800	. . . . 5 |- (A e. N. -> A e. om)
21	19, 20	sylan 343	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> -. (A +o B) = A)
22		addpiord 3806	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (A +o B))
23	22	cleq1d 1109	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) = A <-> (A +o B) = A))
24	21, 23	mtbird 537	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> -. (A +N B) = A)
25	24	a1d 14	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A e. N. -> -. (A +N B) = A))
26		addnidpi.1	. . . . . 6 |- B e. V
27		dmaddpi 3812	. . . . . 6 |- dom +N = (N. X. N.)
28	26, 27	ndmopr 3059	. . . . 5 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> (A +N B) = (/))
29	28	cleq1d 1109	. . . 4 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) = A <-> (/) = A))
30		0npi 3804	. . . . 5 |- -. (/) e. N.
31		eleq1 1149	. . . . 5 |- ((/) = A -> ((/) e. N. <-> A e. N.))
32	30, 31	mtbii 538	. . . 4 |- ((/) = A -> -. A e. N.)
33	29, 32	syl6bi 187	. . 3 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> ((A +N B) = A -> -. A e. N.))
34	33	con2d 83	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> (A e. N. -> -. (A +N B) = A))
35	25, 34	pm2.61i 110	1 |- (A e. N. -> -. (A +N B) = A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707  Ord word 2198  omcom 2372  (class class class)co 3001   +o coa 3101  N.cnpi 3766   +N cpli 3767

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-ni 3794  df-pli 3795

metamath.org