Theorem addpipq 3848

Description: Addition of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
addpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q +Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem addpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 1893	. 2 |- <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>. e. V
2		opex 1893	. 2 |- <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>. e. V
3		opex 1893	. 2 |- <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>. e. V
4		enqex 3842	. 2 |- ~Q e. V
5		enqer 3840	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 3839	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 3831	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 3008	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	cleqan12d 1116	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 391	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 3008	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 3008	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	cleqan12d 1116	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 391	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-plpq 3829	. 2 |- +pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>.))}
17		opeq12 1878	. . 3 |- ((((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)) /\ (v .N f) = (b .N h)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>.)
18		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((w = a /\ f = h) -> (w .N f) = (a .N h))
19		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((v = b /\ u = g) -> (v .N u) = (b .N g))
20	18, 19	opreqan12d 3015	. . . 4 |- (((w = a /\ f = h) /\ (v = b /\ u = g)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)))
21	20	an42s 391	. . 3 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((a .N h) +N (b .N g)))
22		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
23	22	adantl 305	. . . 4 |- (((w = a /\ u = g) /\ (v = b /\ f = h)) -> (v .N f) = (b .N h))
24	23	an4s 390	. . 3 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> (v .N f) = (b .N h))
25	17, 21, 24	sylanc 361	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>.)
26		opeq12 1878	. . 3 |- ((((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)) /\ (v .N f) = (d .N s)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.)
27		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((w = c /\ f = s) -> (w .N f) = (c .N s))
28		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((v = d /\ u = t) -> (v .N u) = (d .N t))
29	27, 28	opreqan12d 3015	. . . 4 |- (((w = c /\ f = s) /\ (v = d /\ u = t)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)))
30	29	an42s 391	. . 3 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((c .N s) +N (d .N t)))
31		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
32	31	adantl 305	. . . 4 |- (((w = c /\ u = t) /\ (v = d /\ f = s)) -> (v .N f) = (d .N s))
33	32	an4s 390	. . 3 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> (v .N f) = (d .N s))
34	26, 30, 33	sylanc 361	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.)
35		opeq12 1878	. . 3 |- ((((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)) /\ (v .N f) = (B .N D)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.)
36		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((w = A /\ f = D) -> (w .N f) = (A .N D))
37		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((v = B /\ u = C) -> (v .N u) = (B .N C))
38	36, 37	opreqan12d 3015	. . . 4 |- (((w = A /\ f = D) /\ (v = B /\ u = C)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)))
39	38	an42s 391	. . 3 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> ((w .N f) +N (v .N u)) = ((A .N D) +N (B .N C)))
40		opreq12 3008	. . . . 5 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
41	40	adantl 305	. . . 4 |- (((w = A /\ u = C) /\ (v = B /\ f = D)) -> (v .N f) = (B .N D))
42	41	an4s 390	. . 3 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> (v .N f) = (B .N D))
43	35, 39, 42	sylanc 361	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.((w .N f) +N (v .N u)), (v .N f)>. = <.((A .N D) +N (B .N C)), (B .N D)>.)
44		df-plq 3833	. 2 |- +Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. +pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
45		df-nq 3832	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
46		visset 1350	. . 3 |- a e. V
47		visset 1350	. . 3 |- b e. V
48		visset 1350	. . 3 |- c e. V
49		visset 1350	. . 3 |- d e. V
50		visset 1350	. . 3 |- g e. V
51		visset 1350	. . 3 |- h e. V
52		visset 1350	. . 3 |- t e. V
53		visset 1350	. . 3 |- s e. V
54	46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	addcmpblnq 3846	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.((a .N h) +N (b .N g)), (b .N h)>. ~Q <.((c .N s) +N (d .N t)), (d .N s)>.))
55	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 25, 34, 43, 44, 45, 54	oprec 3254	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q +Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.((A <