Theorem aleph11 3684

Description: The aleph function is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
aleph11	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((aleph` A) = (aleph` B) <-> A = B))

Proof of Theorem aleph11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord3 3683	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
2		alephord3 3683	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B (_ A <-> (aleph` B) (_ (aleph` A)))
3	2	ancoms 334	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (B (_ A <-> (aleph` B) (_ (aleph` A)))
4	1, 3	anbi12d 476	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A (_ B /\ B (_ A) <-> ((aleph` A) (_ (aleph` B) /\ (aleph` B) (_ (aleph` A))))
5		eqss 1516	. . 3 |- (A = B <-> (A (_ B /\ B (_ A))
6		eqss 1516	. . 3 |- ((aleph` A) = (aleph` B) <-> ((aleph` A) (_ (aleph` B) /\ (aleph` B) (_ (aleph` A)))
7	4, 5, 6	3bitr4g 428	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A = B <-> (aleph` A) = (aleph` B)))
8	7	bicomd 399	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((aleph` A) = (aleph` B) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  Oncon0 2199  ` cfv 2422  alephcale 3621

This theorem is referenced by:  alephiso 3697

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-aleph 3624

metamath.org