Theorem alephexp1 4954

Description: An exponentiation law for alephs. Lemma 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephexp1	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Proof of Theorem alephexp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. . 3 |- (aleph` A) e. V
2		fvex 2838	. . 3 |- (aleph` B) e. V
3	1, 2	infmap1 4950	. 2 |- (((2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)) /\ (aleph` A) ~<_ (aleph` B)) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))
4		alephgeom 3687	. . . . . 6 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
5		ssdom2g 3312	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
6	1, 5	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
7	4, 6	sylbi 174	. . . . 5 |- (A e. On -> om ~<_ (aleph` A))
8		2onn 3194	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
9		nnsdom 3481	. . . . . . . 8 |- (2o e. om -> 2o ~< om)
10	8, 9	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- 2o ~< om
11		sdomdom 3290	. . . . . . 7 |- (2o ~< om -> 2o ~<_ om)
12	10, 11	ax-mp 6	. . . . . 6 |- 2o ~<_ om
13		domtr 3320	. . . . . 6 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ (aleph` A)) -> 2o ~<_ (aleph` A))
14	12, 13	mpan 518	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` A) -> 2o ~<_ (aleph` A))
15	7, 14	syl 12	. . . 4 |- (A e. On -> 2o ~<_ (aleph` A))
16		alephgeom 3687	. . . . 5 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
17		ssdom2g 3312	. . . . . 6 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
18	2, 17	ax-mp 6	. . . . 5 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
19	16, 18	sylbi 174	. . . 4 |- (B e. On -> om ~<_ (aleph` B))
20	15, 19	anim12i 268	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
21	20	adantr 306	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (2o ~<_ (aleph` A) /\ om ~<_ (aleph` B)))
22		alephord3 3683	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (aleph` A) (_ (aleph` B)))
23		ssdomg 3311	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
24	1, 23	ax-mp 6	. . . 4 |- ((aleph` A) (_ (aleph` B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
25	22, 24	syl6bi 187	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B)))
26	25	imp 277	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> (aleph` A) ~<_ (aleph` B))
27	3, 21, 26	sylanc 361	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A (_ B) -> ((aleph` A) ^m (aleph` B)) ~~ (2o ^m (aleph` B)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  omcom 2372  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  2oc2o 3100   ^m cm 3258   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273  alephcale 3621

This theorem is referenced by:  alephexp2 4956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-2o 3105  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-map 3259  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-aleph 3624  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org