Theorem axacnd 3758

Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacnd	|- E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Proof of Theorem axacnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem5 3757	. . . 4 |- E.xA.yA.v(A.x(y e. v /\ v e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))
2		eq6 826	. . . . . 6 |- (-. A.z z = x -> A.x -. A.z z = x)
3		eq6 826	. . . . . . 7 |- (-. A.z z = y -> A.x -. A.z z = y)
4		eq6 826	. . . . . . 7 |- (-. A.z z = w -> A.x -. A.z z = w)
5	3, 4	hban 704	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.x(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
6	2, 5	hban 704	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.x(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
7		eq6 826	. . . . . . 7 |- (-. A.z z = x -> A.y -. A.z z = x)
8		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = y -> A.y -. A.z z = y)
9		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = w -> A.y -. A.z z = w)
10	8, 9	hban 704	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.y(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
11	7, 10	hban 704	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.y(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
12		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
13		eq6 826	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
14		eq6 826	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = w -> A.z -. A.z z = w)
15	13, 14	hban 704	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.z(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
16	12, 15	hban 704	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.z(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
17		ddeel1 1003	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = y -> (y e. v -> A.z y e. v))
18	17	ad2antrl 322	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (y e. v -> A.z y e. v))
19		ddeel2 1004	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = w -> (v e. w -> A.z v e. w))
20	19	ad2antrr 323	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (v e. w -> A.z v e. w))
21	18, 20	hband 788	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((y e. v /\ v e. w) -> A.z(y e. v /\ v e. w)))
22	6, 21	hbald 790	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (A.x(y e. v /\ v e. w) -> A.zA.x(y e. v /\ v e. w)))
23		eq6 826	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.z z = x -> A.w -. A.z z = x)
24		eq6 826	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = y -> A.w -. A.z z = y)
25		eq6 826	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = w -> A.w -. A.z z = w)
26	24, 25	hban 704	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.w(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
27	23, 26	hban 704	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.w(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
28		ax15 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.z z = y -> (-. A.z z = w -> (y e. w -> A.z y e. w)))
29	28	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> (y e. w -> A.z y e. w))
30	29	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (y e. w -> A.z y e. w))
31		ax15 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (-. A.z z = w -> (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x)))
32	31	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.z z = x -> (-. A.z z = w -> (w e. x -> A.z w e. x)))
33	32	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = w) -> (w e. x -> A.z w e. x))
34	33	adantrl 311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (w e. x -> A.z w e. x))
35	30, 34	hband 788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((y e. w /\ w e. x) -> A.z(y e. w /\ w e. x)))
36	21, 35	hband 788	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) -> A.z((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
37	27, 36	hbexd 791	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) -> A.zE.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
38		ax-12 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.z z = y -> (-. A.z z = w -> (y = w -> A.z y = w)))
39	38	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> (y = w -> A.z y = w))
40	39	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (y = w -> A.z y = w))
41	16, 37, 40	hbbid 789	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w) -> A.z(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
42	11, 41	hbald 790	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (A.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w) -> A.zA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
43	27, 42	hbexd 791	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w) -> A.zE.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
44	16, 22, 43	hbimd 787	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((A.x(y e. v /\ v e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)) -> A.z(A.x(y e. v /\ v e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
45		nd5 3736	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.z z = x -> (v = z -> A.x v = z))
46	45	imdistani 340	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ v = z) -> (-. A.z z = x /\ A.x v = z))
47		hba1 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x v = z -> A.xA.x v = z)
48		a14b 820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = z -> (y e. v <-> y e. z))
49		a13b 819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = z -> (v e. w <-> z e. w))
50	48, 49	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> ((y e. v /\ v e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
51	50	a4s 682	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x v = z -> ((y e. v /\ v e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
52	47, 51	biald 782	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x v = z -> (A.x(y e. v /\ v e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
53	52	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ A.x v = z) -> (A.x(y e. v /\ v e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
54	46, 53	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z