Theorem axinfnd 3752

Description: A version of the Axiom of Infinity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axinfnd	|- E.x(y e. z -> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))

Proof of Theorem axinfnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axinfndlem1 3751	. . . . . . 7 |- (A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
2	1	ax-gen 677	. . . . . 6 |- A.w(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
3		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
4		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
5	3, 4	hban 704	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.y(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
6		eq6 826	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
7		ddeel2 1004	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> (w e. z -> A.y w e. z))
8	6, 7	hbald 790	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = z -> (A.x w e. z -> A.yA.x w e. z))
9	8	adantl 305	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.x w e. z -> A.yA.x w e. z))
10		eq6 826	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = x -> A.x -. A.y y = x)
11	10, 6	hban 704	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.x(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
12		ddeel2 1004	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x))
13	12	adantr 306	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. x -> A.y w e. x))
14		ax-17 925	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.w(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
15		eq6 826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = x -> A.z -. A.y y = x)
16		eq6 826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = z -> A.z -. A.y y = z)
17	15, 16	hban 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.z(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
18	7	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. z -> A.y w e. z))
19		ax15 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.y y = z -> (-. A.y y = x -> (z e. x -> A.y z e. x)))
20	19	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (z e. x -> A.y z e. x)))
21	20	imp 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (z e. x -> A.y z e. x))
22	18, 21	hband 788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. z /\ z e. x) -> A.y(w e. z /\ z e. x)))
23	17, 22	hbexd 791	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) -> A.yE.z(w e. z /\ z e. x)))
24	5, 13, 23	hbimd 787	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) -> A.y(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
25	14, 24	hbald 790	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) -> A.yA.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))
26	13, 25	hband 788	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) -> A.y(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))))
27	11, 26	hbexd 791	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) -> A.yE.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))))
28	5, 9, 27	hbimd 787	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)))) -> A.y(A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))))))
29		nd5 3736	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> (w = y -> A.x w = y))
30	29	adantr 306	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> A.x w = y))
31	30	imdistani 340	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
32		hba1 698	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> A.xA.x w = y)
33		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. z <-> y e. z))
34	33	a4s 682	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> (w e. z <-> y e. z))
35	32, 34	biald 782	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x w = y -> (A.x w e. z <-> A.x y e. z))
36	35	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (A.x w e. z <-> A.x y e. z))
37	11, 32	hban 704	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> A.x((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
38		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
39	38	a4s 682	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x w = y -> (w e. x <-> y e. x))
40	38	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (w e. x <-> y e. x))
41		nd5 3736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> A.z w = y))
42	41	imdistani 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (-. A.y y = z /\ A.z w = y))
43		hba1 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> A.zA.z w = y)
44	33	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = y -> ((w e. z /\ z e. x) <-> (y e. z /\ z e. x)))
45	44	a4s 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> ((w e. z /\ z e. x) <-> (y e. z /\ z e. x)))
46	43, 45	biexd 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.z w = y -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
47	46	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ A.z w = y) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
48	42, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (E.z(w e. z /\ z e. x) <-> E.z(y e. z /\ z e. x)))
49	40, 48	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
50	49	adantll 309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
51	50	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> ((w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> (y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
52	5, 24, 51	cbvald 977	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x)) <-> A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x))))
53	39, 52	bi2anan9r 479	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> ((w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) <-> (y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
54	37, 53	biexd 783	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z e. x))) <-> E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))))
55	36, 54	imbi12d 474	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> ((A.x w e. z -> E.x(w e. x /\ A.w(w e. x -> E.z(w e. z /\ z