Theorem axpownd 3747

Description: A version of the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpownd	|- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Proof of Theorem axpownd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem4 3746	. 2 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
2		axpowndlem1 3743	. . 3 |- (A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
3	2	eq4s 822	. 2 |- (A.y y = x -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
4	2	a1d 14	. . 3 |- (A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
5		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
6		eq5 824	. . . . . . . 8 |- (A.y y = z -> A.yA.y y = z)
7	5, 6	hban 704	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ A.y y = z))
8		el 1860	. . . . . . . . . . . . 13 |- E.w x e. w
9		ddeel1 1003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
10	9	eq4ds 823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (x e. w -> A.y x e. w))
11		a14b 820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
12	11	a1i 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> (x e. w <-> x e. y)))
13	5, 10, 12	cbvexd 978	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (E.w x e. w <-> E.y x e. y))
14	8, 13	mpbii 168	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = y -> E.y x e. y)
15		19.8a 712	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.y x e. y -> E.xE.y x e. y)
16	14, 15	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> E.xE.y x e. y)
17		df-ex 679	. . . . . . . . . . 11 |- (E.xE.y x e. y <-> -. A.x -. E.y x e. y)
18	16, 17	sylib 173	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> -. A.x -. E.y x e. y)
19	18	adantr 306	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x -. E.y x e. y)
20		eq5 824	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y y = z -> A.xA.y y = z)
21		pm4.2i 149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y y = z -> (-. x e. y <-> -. x e. y))
22	21	del34b 837	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> (A.y -. x e. y <-> A.z -. x e. y))
23		alnex 716	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y -. x e. y <-> -. E.y x e. y)
24		alnex 716	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z -. x e. y <-> -. E.z x e. y)
25	22, 23, 24	3bitr3g 427	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> -. E.z x e. y))
26		nd2 3733	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y y = z -> -. A.y x e. z)
27		mtt 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y x e. z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y y = z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
29	25, 28	bitrd 406	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y y = z -> (-. E.y x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
30	20, 29	biald 782	. . . . . . . . . 10 |- (A.y y = z -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
31	30	adantl 305	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x -. E.y x e. y <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
32	19, 31	mtbid 536	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> -. A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z))
33	32	pm2.21d 74	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
34	7, 33	19.21ai 740	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
35		19.8a 712	. . . . . 6 |- (A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
36	34, 35	syl 12	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
37	36	a1d 14	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ A.y y = z) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
38	37	exp 291	. . 3 |- (-. A.x x = y -> (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
39	4, 38	pm2.61i 110	. 2 |- (A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
40	1, 3, 39	pm2.61ii 113	1 |- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem is referenced by:  zfcndpow 3762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org