Theorem axpowndlem3 3745

Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpowndlem3	|- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Distinct variable group(s):   y,z

Proof of Theorem axpowndlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem2 3744	. 2 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
2		axpowndlem1 3743	. 2 |- (A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
3		nd3 3734	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x x = z -> -. A.y x e. z)
4		mtt 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y x e. z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
5	3, 4	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x x = z -> (-. E.z x e. y <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
6		ax-10 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.z z = x -> (A.z -. x e. y -> A.x -. x e. y))
7	6	eq4s 822	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x x = z -> (A.z -. x e. y -> A.x -. x e. y))
8		alnex 716	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z -. x e. y <-> -. E.z x e. y)
9		alnex 716	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x -. x e. y <-> -. E.x x e. y)
10	7, 8, 9	3imtr3g 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x x = z -> (-. E.z x e. y -> -. E.x x e. y))
11	5, 10	sylbird 180	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x x = z -> ((E.z x e. y -> A.y x e. z) -> -. E.x x e. y))
12	11	a4sd 683	. . . . . . . . . 10 |- (A.x x = z -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> -. E.x x e. y))
13	12	syl4d 28	. . . . . . . . 9 |- (A.x x = z -> ((-. E.x x e. y -> y e. x) -> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
14	13	del36 838	. . . . . . . 8 |- (A.x x = z -> (A.y(-. E.x x e. y -> y e. x) -> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
15	14	del42 841	. . . . . . 7 |- (A.x x = z -> (E.xA.y(-. E.x x e. y -> y e. x) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
16		p0ex 1885	. . . . . . . . . . 11 |- {(/)} e. V
17		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = {(/)} -> (w e. x <-> w e. {(/)}))
18	17	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = {(/)} -> ((w = (/) -> w e. x) <-> (w = (/) -> w e. {(/)})))
19	18	bialdv 935	. . . . . . . . . . 11 |- (x = {(/)} -> (A.w(w = (/) -> w e. x) <-> A.w(w = (/) -> w e. {(/)})))
20	16, 19	cla4ev 1401	. . . . . . . . . 10 |- (A.w(w = (/) -> w e. {(/)}) -> E.xA.w(w = (/) -> w e. x))
21		0ex 1745	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. V
22	21	snid 1830	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. {(/)}
23		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 |- (w = (/) -> (w e. {(/)} <-> (/) e. {(/)}))
24	22, 23	mpbiri 169	. . . . . . . . . 10 |- (w = (/) -> w e. {(/)})
25	20, 24	mpg 684	. . . . . . . . 9 |- E.xA.w(w = (/) -> w e. x)
26		n0 1714	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. w = (/) <-> E.x x e. w)
27	26	bicon1i 193	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. E.x x e. w <-> w = (/))
28	27	imbi1i 161	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. E.x x e. w -> w e. x) <-> (w = (/) -> w e. x))
29	28	bial 695	. . . . . . . . . 10 |- (A.w(-. E.x x e. w -> w e. x) <-> A.w(w = (/) -> w e. x))
30	29	biex 733	. . . . . . . . 9 |- (E.xA.w(-. E.x x e. w -> w e. x) <-> E.xA.w(w = (/) -> w e. x))
31	25, 30	mpbir 165	. . . . . . . 8 |- E.xA.w(-. E.x x e. w -> w e. x)
32		eq6 826	. . . . . . . . 9 |- (-. A.x x = y -> A.x -. A.x x = y)
33		eq6 826	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
34		ddeel1 1003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
35	34	eq4ds 823	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (x e. w -> A.y x e. w))
36	32, 35	hbexd 791	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = y -> (E.x x e. w -> A.yE.x x e. w))
37	33, 36	hbnd 786	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> (-. E.x x e. w -> A.y -. E.x x e. w))
38		ddeel2 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x))
39	38	eq4ds 823	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> (w e. x -> A.y w e. x))
40	33, 37, 39	hbimd 787	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> ((-. E.x x e. w -> w e. x) -> A.y(-. E.x x e. w -> w e. x)))
41		ddeeq2 1002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> A.x w = y))
42	41	imdistani 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = y /\ w = y) -> (-. A.x x = y /\ A.x w = y))
43		hba1 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x w = y -> A.xA.x w = y)
44		a14b 820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
45	44	a4s 682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x w = y -> (x e. w <-> x e. y))
46	43, 45	biexd 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x w = y -> (E.x x e. w <-> E.x x e. y))
47	46	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = y /\ A.x w = y) -> (E.x x e. w <-> E.x x e. y))
48	42, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = y /\ w = y) -> (E.x x e. w <-> E.x x e. y))
49	48	negbid 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = y /\ w = y) -> (-. E.x x e. w <-> -. E.x x e. y))
50		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
51	50	adantl 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = y /\ w = y) -> (w e. x <-> y e. x))
52	49, 51	imbi12d 474	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ w = y) -> ((-. E.x x e. w -> w e. x) <-> (-. E.x x e. y -> y e. x)))
53	52	exp 291	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> (w = y -> ((-. E.x x e. w -> w e. x) <-> (-. E.x x e. y -> y e. x))))
54	33, 40, 53	cbvald 977	. . . . . . . . 9 |- (-. A.x x = y -> (A.w(-. E.x x e. w -> w e. x) <-> A.y(-. E.x x e. y -> y e. x)))
55	32, 54	biexd 783	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> (E.xA.w(-. E.x x e. w -> w e. x) <-> E.xA.y(-. E.x x e. y -> y e. x)))
56	31, 55	mpbii 168	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> E.xA.y(-. E.x x e. y -> y e. x))
57	15, 56	syl5 22	. . . . . 6 |- (A.x x = z -> (-. A.x x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
58	57	imp 277	. . . . 5 |- ((A.x x = z /\ -. A.x x = y) -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))
59	58	a1d 14	. . . 4 |- ((A.x x = z /\ -. A.x x = y) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
60	59	exp 291	. . 3 |- (A.x x = z -> (-. A.x x = y -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
61	60, 2	pm2.61d2 111	. 2 |- (A.x x = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
62	1, 2, 61	pm2.61ii 113	1 |- (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  {csn 1808

This theorem is referenced by:  axpowndlem4 3746

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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