Theorem axregnd 3750

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Proof of Theorem axregnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq6 826	. . . . . 6 |- (-. A.z z = x -> A.x -. A.z z = x)
2		eq6 826	. . . . . 6 |- (-. A.z z = y -> A.x -. A.z z = y)
3	1, 2	hban 704	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.x(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
4		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
5		eq6 826	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
6	4, 5	hban 704	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.z(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
7		ddeel2 1004	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x))
8	7	adantr 306	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. x -> A.z w e. x))
9		ddeel2 1004	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.z z = y -> (w e. y -> A.z w e. y))
10	9	adantl 305	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. y -> A.z w e. y))
11	6, 10	hbnd 786	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (-. w e. y -> A.z -. w e. y))
12	6, 8, 11	hbimd 787	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((w e. x -> -. w e. y) -> A.z(w e. x -> -. w e. y)))
13		a13b 819	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (w e. x <-> z e. x))
14		a13b 819	. . . . . . . . . 10 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
15	14	negbid 463	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (-. w e. y <-> -. z e. y))
16	13, 15	imbi12d 474	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
17	16	a1i 7	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y))))
18	6, 12, 17	cbvald 977	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.w(w e. x -> -. w e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
19	18	anbi2d 468	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
20	3, 19	biexd 783	. . . 4 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
21		axregndlem2 3749	. . . 4 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)))
22	20, 21	syl5bi 183	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
23	22	exp 291	. 2 |- (-. A.z z = x -> (-. A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
24		axregndlem1 3748	. . 3 |- (A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
25	24	eq4s 822	. 2 |- (A.z z = x -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
26		eirrv 3449	. . . . . . . . . . 11 |- -. z e. z
27		a14b 820	. . . . . . . . . . 11 |- (z = y -> (z e. z <-> z e. y))
28	26, 27	mtbii 538	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> -. z e. y)
29	28	a4s 682	. . . . . . . . 9 |- (A.z z = y -> -. z e. y)
30	29	a1d 14	. . . . . . . 8 |- (A.z z = y -> (z e. x -> -. z e. y))
31	30	a5i 687	. . . . . . 7 |- (A.z z = y -> A.z(z e. x -> -. z e. y))
32	31	anim2i 270	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ A.z z = y) -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))
33	32	exp 291	. . . . 5 |- (x e. y -> (A.z z = y -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
34	33	com12 13	. . . 4 |- (A.z z = y -> (x e. y -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
35	34	del42 841	. . 3 |- (A.z z = y -> (E.x x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
36		19.8a 712	. . 3 |- (x e. y -> E.x x e. y)
37	35, 36	syl5 22	. 2 |- (A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
38	23, 25, 37	pm2.61ii 113	1 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem is referenced by:  zfcndreg 3763

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org