Theorem axregndlem2 3749

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregndlem2	|- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Distinct variable group(s):   y,z

Proof of Theorem axregndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axreg 1083	. . . . . 6 |- (w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)))
2	1	ax-gen 677	. . . . 5 |- A.w(w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)))
3		eq6 826	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> A.x -. A.x x = y)
4		eq6 826	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = z -> A.x -. A.x x = z)
5	3, 4	hban 704	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.x(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
6		ddeel2 1004	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> (w e. y -> A.x w e. y))
7	6	adantr 306	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w e. y -> A.x w e. y))
8		ax-17 925	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.w(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
9		eq6 826	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> A.z -. A.x x = y)
10		eq6 826	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = z -> A.z -. A.x x = z)
11	9, 10	hban 704	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.z(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
12		ddeel1 1003	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = z -> (z e. w -> A.x z e. w))
13	12	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (z e. w -> A.x z e. w))
14		ax15 1006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. A.x x = z -> (-. A.x x = y -> (z e. y -> A.x z e. y)))
15	14	com12 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> (z e. y -> A.x z e. y)))
16	15	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (z e. y -> A.x z e. y))
17	5, 16	hbnd 786	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (-. z e. y -> A.x -. z e. y))
18	5, 13, 17	hbimd 787	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((z e. w -> -. z e. y) -> A.x(z e. w -> -. z e. y)))
19	11, 18	hbald 790	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.z(z e. w -> -. z e. y) -> A.xA.z(z e. w -> -. z e. y)))
20	7, 19	hband 788	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) -> A.x(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))))
21	8, 20	hbexd 791	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) -> A.xE.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))))
22	5, 7, 21	hbimd 787	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) -> A.x(w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)))))
23		a13b 819	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (w e. y <-> x e. y))
24	23	adantl 305	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (w e. y <-> x e. y))
25	23	adantl 305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (w e. y <-> x e. y))
26		nd5 3736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.x x = z -> (w = x -> A.z w = x))
27	26	imdistani 340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (-. A.x x = z /\ A.z w = x))
28		hba1 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.z w = x -> A.zA.z w = x)
29	10, 28	hban 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> A.z(-. A.x x = z /\ A.z w = x))
30		a14b 820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w = x -> (z e. w <-> z e. x))
31	30	imbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = x -> ((z e. w -> -. z e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
32	31	a4s 682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.z w = x -> ((z e. w -> -. z e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
33	32	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> ((z e. w -> -. z e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
34	29, 33	biald 782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> (A.z(z e. w -> -. z e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
35	27, 34	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (A.z(z e. w -> -. z e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
36	25, 35	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
37	36	exp 291	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = z -> (w = x -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
38	37	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
39	5, 20, 38	cbvexd 978	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
40	39	adantr 306	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
41	24, 40	imbi12d 474	. . . . . . 7 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> ((w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) <-> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
42	41	exp 291	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> ((w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) <-> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))))
43	5, 22, 42	cbvald 977	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.w(w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) <-> A.x(x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
44	2, 43	mpbii 168	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.x(x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
45	44	19.21bi 742	. . 3 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
46	45	exp 291	. 2 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
47		eirrv 3449	. . . . 5 |- -. x e. x
48		a14b 820	. . . . 5 |- (x = y -> (x e. x <-> x e. y))
49	47, 48	mtbii 538	. . . 4 |- (x = y -> -. x e. y)
50	49	a4s 682	. . 3 |- (A.x x = y -> -. x e. y)
51	50	pm2.21d 74	. 2 |- (A.x x = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
52		axregndlem1 3748	. 2 |- (A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
53	46, 51, 52	pm2.61ii 113	1 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem is referenced by:  axregnd 3750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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