Theorem bm1.3ii 1481

Description: Convert implication to equivalence using Aussonderung. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463.

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.3ii.1	|- E.xA.y(ph -> y e. x)

Assertion

Ref	Expression
bm1.3ii	|- E.xA.y(y e. x <-> ph)

Distinct variable group(s):   ph,x   x,y

Proof of Theorem bm1.3ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm1.3ii.1	. . . . 5 |- E.xA.y(ph -> y e. x)
2		a14b 820	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (y e. x <-> y e. z))
3	2	imbi2d 464	. . . . . . 7 |- (x = z -> ((ph -> y e. x) <-> (ph -> y e. z)))
4	3	bialdv 935	. . . . . 6 |- (x = z -> (A.y(ph -> y e. x) <-> A.y(ph -> y e. z)))
5	4	cbvexv 973	. . . . 5 |- (E.xA.y(ph -> y e. x) <-> E.zA.y(ph -> y e. z))
6	1, 5	mpbi 164	. . . 4 |- E.zA.y(ph -> y e. z)
7		visset 1350	. . . . 5 |- z e. V
8	7	zfaus 1480	. . . 4 |- E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))
9	6, 8	pm3.2i 234	. . 3 |- (E.zA.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph)))
10	9	exan 784	. 2 |- E.z(A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph)))
11		19.42v 966	. . . 4 |- (E.x(A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) <-> (A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))))
12		19.26 749	. . . . . 6 |- (A.y((ph -> y e. z) /\ (y e. x <-> (y e. z /\ ph))) <-> (A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))))
13		bimsc1 557	. . . . . . 7 |- (((ph -> y e. z) /\ (y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> (y e. x <-> ph))
14	13	19.20i 691	. . . . . 6 |- (A.y((ph -> y e. z) /\ (y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> A.y(y e. x <-> ph))
15	12, 14	sylbir 176	. . . . 5 |- ((A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> A.y(y e. x <-> ph))
16	15	19.22i 723	. . . 4 |- (E.x(A.y(ph -> y e. z) /\ A.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> E.xA.y(y e. x <-> ph))
17	11, 16	sylbir 176	. . 3 |- ((A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> E.xA.y(y e. x <-> ph))
18	17	19.23aiv 952	. 2 |- (E.z(A.y(ph -> y e. z) /\ E.xA.y(y e. x <-> (y e. z /\ ph))) -> E.xA.y(y e. x <-> ph))
19	10, 18	ax-mp 6	1 |- E.xA.y(y e. x <-> ph)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem is referenced by:  pwex 1806  uniex 1947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-14 805  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349

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