Theorem bm2.5ii 2274

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471.

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- (A (_ On -> U.A = |^|{x e. On | A.y e. A y (_ x})

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. V
2	1	onuni 2251	. 2 |- (A (_ On -> U.A e. On)
3		intmin 1982	. . 3 |- (U.A e. On -> U.A = |^|{x e. On | U.A (_ x})
4		unissb 1941	. . . . . 6 |- (U.A (_ x <-> A.y e. A y (_ x)
5	4	a1i 7	. . . . 5 |- (x e. On -> (U.A (_ x <-> A.y e. A y (_ x))
6	5	birabi 1342	. . . 4 |- {x e. On | U.A (_ x} = {x e. On | A.y e. A y (_ x}
7	6	inteqi 1969	. . 3 |- |^|{x e. On | U.A (_ x} = |^|{x e. On | A.y e. A y (_ x}
8	3, 7	syl6eq 1140	. 2 |- (U.A e. On -> U.A = |^|{x e. On | A.y e. A y (_ x})
9	2, 8	syl 12	1 |- (A (_ On -> U.A = |^|{x e. On | A.y e. A y (_ x})

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  {crab 1204  Vcvv 1348   (_ wss 1487  U.cuni 1919  |^|cint 1965  Oncon0 2199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org