Theorem brdom 3283

Description: Dominance relation.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
brdom	|- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)

Distinct variable group(s):   A,f   B,f

Proof of Theorem brdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. V
2		brdomg 3281	. 2 |- (B e. V -> (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B))
3	1, 2	ax-mp 6	1 |- (A ~<_ B <-> E.f f:A-1-1->B)

Syntax hints:   <-> wb 127  E.wex 678   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  -1-1->wf1 2419   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  domen 3284  domtr 3320  2dom 3332  xpdom2 3345  sbthlem10 3358  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-dm 2428  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-dom 3275

metamath.org