Theorem brdom2 3292

Description: Dominance in terms of strict dominance and equinumerosity. Theorem 22(iv) of [Suppes] p. 97.

Assertion

Ref	Expression
brdom2	|- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))

Proof of Theorem brdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdom2 3288	. . 3 |- ~<_ = ( ~< u. ~~ )
2	1	eleq2i 1153	. 2 |- (<.A, B>. e. ~<_ <-> <.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ))
3		df-br 2063	. 2 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
4		df-br 2063	. . . 4 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
5		df-br 2063	. . . 4 |- (A ~~ B <-> <.A, B>. e. ~~ )
6	4, 5	orbi12i 216	. . 3 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) <-> (<.A, B>. e. ~< \/ <.A, B>. e. ~~ ))
7		elun 1601	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ) <-> (<.A, B>. e. ~< \/ <.A, B>. e. ~~ ))
8	6, 7	bitr4 154	. 2 |- ((A ~< B \/ A ~~ B) <-> <.A, B>. e. ( ~< u. ~~ ))
9	2, 3, 8	3bitr4 158	1 |- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))

Syntax hints:   <-> wb 127   \/ wo 195   e. wcel 1092   u. cun 1485  <.cop 1810   class class class wbr 2054   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  bren2 3293  domnsym 3365  sdomdomtr 3370  domsdomtr 3374  carddom 3642  entri 3645  entri2 3646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org