Theorem brsdom2 3363

Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
brsdom2.1	|- A e. V
brsdom2.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
brsdom2	|- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Proof of Theorem brsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsdom2 3362	. . 3 |- ~< = ( ~<_ \ `' ~<_ )
2	1	eleq2i 1153	. 2 |- (<.A, B>. e. ~< <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
3		df-br 2063	. 2 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
4		df-br 2063	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
5		df-br 2063	. . . . . 6 |- (B ~<_ A <-> <.B, A>. e. ~<_ )
6		brsdom2.1	. . . . . . 7 |- A e. V
7		brsdom2.2	. . . . . . 7 |- B e. V
8	6, 7	opelcnv 2518	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. `' ~<_ <-> <.B, A>. e. ~<_ )
9	5, 8	bitr4 154	. . . . 5 |- (B ~<_ A <-> <.A, B>. e. `' ~<_ )
10	9	negbii 162	. . . 4 |- (-. B ~<_ A <-> -. <.A, B>. e. `' ~<_ )
11	4, 10	anbi12i 369	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
12		eldif 1496	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
13	11, 12	bitr4 154	. 2 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
14	2, 3, 13	3bitr4 158	1 |- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   \ cdif 1484  <.cop 1810   class class class wbr 2054  `'ccnv 2409   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org