Theorem cardcard 3655

Description: The cardinality of the cardinality of a set equals the cardinality of the set. Proposition 10.11 of [TakeutiZaring] p. 85.

Assertion

Ref	Expression
cardcard	|- (card` (card` A)) = (card` A)

Proof of Theorem cardcard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid 3635	. . 3 |- (card` A) ~~ A
2		fvex 2838	. . . 4 |- (card` A) e. V
3		carden 3638	. . . 4 |- (((card` A) e. V /\ A e. V) -> ((card` (card` A)) = (card` A) <-> (card` A) ~~ A))
4	2, 3	mpan 518	. . 3 |- (A e. V -> ((card` (card` A)) = (card` A) <-> (card` A) ~~ A))
5	1, 4	mpbiri 169	. 2 |- (A e. V -> (card` (card` A)) = (card` A))
6		fvprc 2829	. . . . 5 |- (-. A e. V -> (card` A) = (/))
7	6	fveq2d 2836	. . . 4 |- (-. A e. V -> (card` (card` A)) = (card` (/)))
8		card0 3630	. . . 4 |- (card` (/)) = (/)
9	7, 8	syl6eq 1140	. . 3 |- (-. A e. V -> (card` (card` A)) = (/))
10	9, 6	eqtr4d 1131	. 2 |- (-. A e. V -> (card` (card` A)) = (card` A))
11	5, 10	pm2.61i 110	1 |- (card` (card` A)) = (card` A)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  ` cfv 2422   ~~ cen 3271  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  cardlim 3657  cardsdomel 3658  cardiun 3665  cardprc 3667  alephnbtwn2 3675  cardcf 3706

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-card 3623

metamath.org