Theorem cardnn 3631

Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
cardnn	|- (A e. om -> (card` A) = A)

Proof of Theorem cardnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 3291	. . . 4 |- ((card` A) ~< A -> -. (card` A) ~~ A)
2		nnont 2379	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
3		oncardid 3628	. . . . 5 |- (A e. On -> (card` A) ~~ A)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (A e. om -> (card` A) ~~ A)
5	1, 4	nsyl3 104	. . 3 |- (A e. om -> -. (card` A) ~< A)
6		oncardon 3627	. . . . . 6 |- (A e. On -> (card` A) e. On)
7		ordelpss 2226	. . . . . . 7 |- ((Ord (card` A) /\ Ord A) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
8		eloni 2209	. . . . . . 7 |- ((card` A) e. On -> Ord (card` A))
9		eloni 2209	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
10	7, 8, 9	syl2an 349	. . . . . 6 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
11	6, 10	mpancom 528	. . . . 5 |- (A e. On -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
12	2, 11	syl 12	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) (. A))
13		cardonle 3629	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (card` A) (_ A)
14		onsseleq 2254	. . . . . . . . 9 |- (((card` A) e. On /\ A e. On) -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
15	6, 14	mpancom 528	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> ((card` A) (_ A <-> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A)))
16	13, 15	mpbid 170	. . . . . . 7 |- (A e. On -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
17	2, 16	syl 12	. . . . . 6 |- (A e. om -> ((card` A) e. A \/ (card` A) = A))
18		elnn 2383	. . . . . . . . 9 |- (((card` A) e. A /\ A e. om) -> (card` A) e. om)
19	18	exp 291	. . . . . . . 8 |- ((card` A) e. A -> (A e. om -> (card` A) e. om))
20	19	com12 13	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) e. A -> (card` A) e. om))
21		eleq1a 1158	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((card` A) = A -> (card` A) e. om))
22	20, 21	jaod 329	. . . . . 6 |- (A e. om -> (((card` A) e. A \/ (card` A) = A) -> (card` A) e. om))
23	17, 22	mpd 46	. . . . 5 |- (A e. om -> (card` A) e. om)
24		nnsdomo 3417	. . . . 5 |- (((card` A) e. om /\ A e. om) -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
25	23, 24	mpancom 528	. . . 4 |- (A e. om -> ((card` A) ~< A <-> (card` A) (. A))
26	12, 25	bitr4d 409	. . 3 |- (A e. om -> ((card` A) e. A <-> (card` A) ~< A))
27	5, 26	mtbird 537	. 2 |- (A e. om -> -. (card` A) e. A)
28	17	ord 202	. 2 |- (A e. om -> (-. (card` A) e. A -> (card` A) = A))
29	27, 28	mpd 46	1 |- (A e. om -> (card` A) = A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487   (. wpss 1488   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199  omcom 2372  ` cfv 2422   ~~ cen 3271   ~< csdm 3273  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  cardsn 3640  iscard3 3693

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org