Theorem carduni 3664

Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
carduni	|- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` U.A) = U.A))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem carduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onunit 2250	. . . . . . 7 |- (A e. B -> (A (_ On -> U.A e. On))
2		fveq2 2832	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (card` x) = (card` y))
3		id 9	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> x = y)
4	2, 3	cleq12d 1115	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> ((card` x) = x <-> (card` y) = y))
5	4	rcla4v 1402	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. A (card` x) = x -> (y e. A -> (card` y) = y))
6		cardon 3634	. . . . . . . . . 10 |- (card` y) e. On
7		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 |- ((card` y) = y -> ((card` y) e. On <-> y e. On))
8	6, 7	mpbii 168	. . . . . . . . 9 |- ((card` y) = y -> y e. On)
9	5, 8	syl6 23	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A (card` x) = x -> (y e. A -> y e. On))
10	9	ssrdv 1509	. . . . . . 7 |- (A.x e. A (card` x) = x -> A (_ On)
11	1, 10	syl5 22	. . . . . 6 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> U.A e. On))
12	11	imp 277	. . . . 5 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> U.A e. On)
13		cardonle 3629	. . . . 5 |- (U.A e. On -> (card` U.A) (_ U.A)
14	12, 13	syl 12	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> (card` U.A) (_ U.A)
15		cardon 3634	. . . . . 6 |- (card` U.A) e. On
16	15	oneirr 2345	. . . . 5 |- -. (card` U.A) e. (card` U.A)
17		eluni 1922	. . . . . . . 8 |- ((card` U.A) e. U.A <-> E.y((card` U.A) e. y /\ y e. A))
18	5	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` y) = y))
19		uniexg 1948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A e. B -> U.A e. V)
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. V
21		carddom 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. V /\ U.A e. V) -> ((card` y) (_ (card` U.A) <-> y ~<_ U.A))
22	20, 21	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (U.A e. V -> ((card` y) (_ (card` U.A) <-> y ~<_ U.A))
23	22	bicomd 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (U.A e. V -> (y ~<_ U.A <-> (card` y) (_ (card` U.A)))
24	19, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. B -> (y ~<_ U.A <-> (card` y) (_ (card` U.A)))
25		sseq1 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((card` y) = y -> ((card` y) (_ (card` U.A) <-> y (_ (card` U.A)))
26	24, 25	sylan9bb 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y ~<_ U.A <-> y (_ (card` U.A)))
27		elssuni 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. A -> y (_ U.A)
28		ssdomg 3311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. V -> (y (_ U.A -> y ~<_ U.A))
29	20, 28	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y (_ U.A -> y ~<_ U.A)
30	27, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. A -> y ~<_ U.A)
31	26, 30	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y e. A -> y (_ (card` U.A)))
32		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y (_ (card` U.A) -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))
33	31, 32	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. B /\ (card` y) = y) -> (y e. A -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
34	33	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. B -> ((card` y) = y -> (y e. A -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
35	34	com13 33	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. A -> ((card` y) = y -> (A e. B -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
36	18, 35	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> ((card` U.A) e. y -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
37	36	com4r 41	. . . . . . . . . 10 |- ((card` U.A) e. y -> (y e. A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A)))))
38	37	imp 277	. . . . . . . . 9 |- (((card` U.A) e. y /\ y e. A) -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
39	38	19.23aiv 952	. . . . . . . 8 |- (E.y((card` U.A) e. y /\ y e. A) -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
40	17, 39	sylbi 174	. . . . . . 7 |- ((card` U.A) e. U.A -> (A.x e. A (card` x) = x -> (A e. B -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
41	40	com13 33	. . . . . 6 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> ((card` U.A) e. U.A -> (card` U.A) e. (card` U.A))))
42	41	imp 277	. . . . 5 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) e. U.A -> (card` U.A) e. (card` U.A)))
43	16, 42	mtoi 94	. . . 4 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> -. (card` U.A) e. U.A)
44	14, 43	jca 236	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A))
45		eloni 2209	. . . 4 |- (U.A e. On -> Ord U.A)
46	15	onord 2343	. . . . 5 |- Ord (card` U.A)
47		ordtri4 2235	. . . . 5 |- ((Ord (card` U.A) /\ Ord U.A) -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
48	46, 47	mpan 518	. . . 4 |- (Ord U.A -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
49	12, 45, 48	3syl 21	. . 3 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> ((card` U.A) = U.A <-> ((card` U.A) (_ U.A /\ -. (card` U.A) e. U.A)))
50	44, 49	mpbird 171	. 2 |- ((A e. B /\ A.x e. A (card` x) = x) -> (card` U.A) = U.A)
51	50	exp 291	1 |- (A e. B -> (A.x e. A (card` x) = x -> (card` U.A) = U.A))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  Vcvv 1348   (_ wss 1487  U.cuni 1919   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199  ` cfv 2422   ~<_ cdom 3272  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  cardiun 3665  carduniima 3695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

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