Theorem cdainf 3731

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite.

Hypothesis

Ref	Expression
cdainf.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
cdainf	|- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Proof of Theorem cdainf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdainf.1	. . . 4 |- A e. V
2	1, 1	cdadom3 3729	. . 3 |- A ~<_ (A +c A)
3		domtr 3320	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ A ~<_ (A +c A)) -> om ~<_ (A +c A))
4	2, 3	mpan2 519	. 2 |- (om ~<_ A -> om ~<_ (A +c A))
5		cdafi 3730	. . . . 5 |- ((A ~< om /\ A ~< om) -> (A +c A) ~< om)
6	5	anidms 332	. . . 4 |- (A ~< om -> (A +c A) ~< om)
7	6	con3i 90	. . 3 |- (-. (A +c A) ~< om -> -. A ~< om)
8		omex 3475	. . . 4 |- om e. V
9		oprex 3018	. . . 4 |- (A +c A) e. V
10		domtri 3644	. . . 4 |- ((om e. V /\ (A +c A) e. V) -> (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om))
11	8, 9, 10	mp2an 520	. . 3 |- (om ~<_ (A +c A) <-> -. (A +c A) ~< om)
12		domtri 3644	. . . 4 |- ((om e. V /\ A e. V) -> (om ~<_ A <-> -. A ~< om))
13	8, 1, 12	mp2an 520	. . 3 |- (om ~<_ A <-> -. A ~< om)
14	7, 11, 13	3imtr4 192	. 2 |- (om ~<_ (A +c A) -> om ~<_ A)
15	4, 14	impbi 139	1 |- (om ~<_ A <-> om ~<_ (A +c A))

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  omcom 2372  (class class class)co 3001   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273   +c ccda 3714

This theorem is referenced by:  infdif 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-cda 3715

metamath.org