Theorem chocnul 5293

Description: Orthogonal complement of the empty set.

Assertion

Ref	Expression
chocnul	|- (_|_` (/)) = H~

Proof of Theorem chocnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 1725	. . . 4 |- (/) (_ H~
2		ocelt 5162	. . . 4 |- ((/) (_ H~ -> (x e. (_|_` (/)) <-> (x e. H~ /\ A.y e. (/) (x .i y) = 0)))
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 |- (x e. (_|_` (/)) <-> (x e. H~ /\ A.y e. (/) (x .i y) = 0))
4		cleqid 1102	. . . 4 |- (/) = (/)
5		rzal 1773	. . . 4 |- ((/) = (/) -> A.y e. (/) (x .i y) = 0)
6	4, 5	ax-mp 6	. . 3 |- A.y e. (/) (x .i y) = 0
7	3, 6	mpbiranr 548	. 2 |- (x e. (_|_` (/)) <-> x e. H~)
8	7	cleqri 1101	1 |- (_|_` (/)) = H~

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   (_ wss 1487  (/)c0 1707  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028  H~chil 4958   .i csp 4963  _|_cort 4969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oc 5156

metamath.org