Theorem cla4ev 1401

Description: Existential specialization with implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
cla4v.1	|- A e. V
cla4v.2	|- (x = A -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
cla4ev	|- (ps -> E.xph)

Distinct variable group(s):   x,A   ps,x

Proof of Theorem cla4ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cla4v.1	. . . 4 |- A e. V
2		cla4v.2	. . . . 5 |- (x = A -> (ph <-> ps))
3	2	negbid 463	. . . 4 |- (x = A -> (-. ph <-> -. ps))
4	1, 3	cla4v 1400	. . 3 |- (A.x -. ph -> -. ps)
5	4	con2i 89	. 2 |- (ps -> -. A.x -. ph)
6		df-ex 679	. 2 |- (E.xph <-> -. A.x -. ph)
7	5, 6	sylibr 175	1 |- (ps -> E.xph)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127  A.wal 672  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348

This theorem is referenced by:  el 1860  nnullss 1880  exss 1881  dtru 1889  unipw 1960  opeldm 2534  ffoss 2820  fvrn 2888  fo1st 3094  fo2nd 3095  map0 3268  ensn1 3329  en1 3331  unen 3338  php3 3411  ssfi 3430  inf0 3457  inf4 3473  tz9.1 3490  r1pwcl 3530  scott0 3542  cplem2 3546  bnd2 3549  karden 3551  aceq3lem 3555  aceq4 3557  aceq5lem5 3562  aceq5 3563  aceq6a 3564  aceq6b 3565  ac6lem 3575  kmlem2 3581  kmlem12 3591  numthlem 3598  weth 3602  fodomb 3615  cfsuc 3709  axpowndlem3 3745  recmulpq 3864  dmrecpq 3868  ltexpq 3874  halfpq 3876  ltbtwnpq 3878  genpnmax 3904  1idpr 3927  ltexprlem7 3942  prlem936 3949  reclem1pr 3950  reclem2pr 3951  reclem3pr 3952  negexsr 4005  recexsrlem 4006  recexsr 4010  supsrlem5 4023  axnegex 4078  axrecex 4079  axrnegex 4080  axrrecex 4081  sup2 4510  nnunb 4520  infxpidmlem3 4935  pjrn 5587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-12 802  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349

metamath.org