Theorem cnv0 2633

Description: The converse of the empty set.

Assertion

Ref	Expression
cnv0	|- `'(/) = (/)

Proof of Theorem cnv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 |- Rel `'(/)
2		rel0 2499	. 2 |- Rel (/)
3		visset 1350	. . . 4 |- x e. V
4		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
5	3, 4	opelcnv 2518	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(/) <-> <.y, x>. e. (/))
6		noel 1711	. . . 4 |- -. <.x, y>. e. (/)
7		noel 1711	. . . 4 |- -. <.y, x>. e. (/)
8		pm5.21 502	. . . 4 |- ((-. <.x, y>. e. (/) /\ -. <.y, x>. e. (/)) -> (<.x, y>. e. (/) <-> <.y, x>. e. (/)))
9	6, 7, 8	mp2an 520	. . 3 |- (<.x, y>. e. (/) <-> <.y, x>. e. (/))
10	5, 9	bitr4 154	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(/) <-> <.x, y>. e. (/))
11	1, 2, 10	cleqreli 2484	1 |- `'(/) = (/)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  <.cop 1810  `'ccnv 2409

This theorem is referenced by:  xp0 2652  co01 2664  f10 2822  f1o00 2823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org