Theorem cnvopab 2632

Description: The converse of a class abstraction of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
cnvopab	|- `'{<.x, y>. | ph} = {<.y, x>. | ph}

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem cnvopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 |- Rel `'{<.x, y>. | ph}
2		relopab 2494	. 2 |- Rel {<.y, x>. | ph}
3		visset 1350	. . . 4 |- w e. V
4		visset 1350	. . . 4 |- z e. V
5	3, 4	opelcnv 2518	. . 3 |- (<.w, z>. e. `'{<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
6		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y e. <.z, w>. -> A.x y e. <.z, w>.)
7		hbopab1 2112	. . . . . 6 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
8	6, 7	hbel 1172	. . . . 5 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph})
9		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y e. <.w, z>. -> A.x y e. <.w, z>.)
10		hbopab2 2113	. . . . . 6 |- (z e. {<.y, x>. | ph} -> A.x z e. {<.y, x>. | ph})
11	9, 10	hbel 1172	. . . . 5 |- (<.w, z>. e. {<.y, x>. | ph} -> A.x<.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
12	8, 11	hbbi 705	. . . 4 |- ((<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}) -> A.x(<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}))
13		opeq1 1876	. . . . . 6 |- (x = z -> <.x, w>. = <.z, w>.)
14	13	eleq1d 1155	. . . . 5 |- (x = z -> (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.z, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
15		opeq2 1877	. . . . . 6 |- (x = z -> <.w, x>. = <.w, z>.)
16	15	eleq1d 1155	. . . . 5 |- (x = z -> (<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph}))
17	14, 16	bibi12d 477	. . . 4 |- (x = z -> ((<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}) <-> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})))
18		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (z e. <.x, w>. -> A.y z e. <.x, w>.)
19		hbopab2 2113	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
20	18, 19	hbel 1172	. . . . . 6 |- (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.y<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph})
21		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (z e. <.w, x>. -> A.y z e. <.w, x>.)
22		hbopab1 2112	. . . . . . 7 |- (z e. {<.y, x>. | ph} -> A.y z e. {<.y, x>. | ph})
23	21, 22	hbel 1172	. . . . . 6 |- (<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph} -> A.y<.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})
24	20, 23	hbbi 705	. . . . 5 |- ((<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}) -> A.y(<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}))
25		opeq2 1877	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.x, y>. = <.x, w>.)
26	25	eleq1d 1155	. . . . . 6 |- (y = w -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.x, w>. e. {<.x, y>. | ph}))
27		opeq1 1876	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.y, x>. = <.w, x>.)
28	27	eleq1d 1155	. . . . . 6 |- (y = w -> (<.y, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph}))
29	26, 28	bibi12d 477	. . . . 5 |- (y = w -> ((<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.y, x>. e. {<.y, x>. | ph}) <-> (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})))
30		opabid 2099	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
31		opabid 2099	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. {<.y, x>. | ph} <-> ph)
32	30, 31	bitr4 154	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.y, x>. e. {<.y, x>. | ph})
33	24, 29, 32	chv2 850	. . . 4 |- (<.x, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, x>. e. {<.y, x>. | ph})
34	12, 17, 33	chv2 850	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
35	5, 34	bitr 151	. 2 |- (<.w, z>. e. `'{<.x, y>. | ph} <-> <.w, z>. e. {<.y, x>. | ph})
36	1, 2, 35	cleqreli 2484	1 |- `'{<.x, y>. | ph} = {<.y, x>. | ph}

Syntax hints:   <-> wb 127   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  {copab 2055  `'ccnv 2409

This theorem is referenced by:  en2d 3303

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org