Theorem cnvsn 2636

Description: Converse of a singleton of an ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. V
cnvsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	|- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 |- Rel `'{<.A, B>.}
2		cnvsn.2	. . 3 |- B e. V
3	2	relsn 2485	. 2 |- Rel {<.B, A>.}
4		ancom 333	. . 3 |- ((y = B /\ x = A) <-> (x = A /\ y = B))
5		opex 1893	. . . . 5 |- <.y, x>. e. V
6	5	elsnc 1826	. . . 4 |- (<.y, x>. e. {<.B, A>.} <-> <.y, x>. = <.B, A>.)
7		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
9		cnvsn.1	. . . . 5 |- A e. V
10	7, 8, 9	opth 1898	. . . 4 |- (<.y, x>. = <.B, A>. <-> (y = B /\ x = A))
11	6, 10	bitr 151	. . 3 |- (<.y, x>. e. {<.B, A>.} <-> (y = B /\ x = A))
12	7, 8	opelcnv 2518	. . . 4 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
13		opex 1893	. . . . 5 |- <.x, y>. e. V
14	13	elsnc 1826	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
15	8, 7, 2	opth 1898	. . . 4 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
16	12, 14, 15	3bitr 155	. . 3 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> (x = A /\ y = B))
17	4, 11, 16	3bitr4r 159	. 2 |- (<.y, x>. e. `'{<.A, B>.} <-> <.y, x>. e. {<.B, A>.})
18	1, 3, 17	cleqreli 2484	1 |- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}

Syntax hints:   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  `'ccnv 2409

This theorem is referenced by:  rnsnop 2637  op2ndb 2638  op2nda 2639  f1osn 2827  xpcomen 3343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org