Theorem cnvun 2642

Description: The converse of a union is the union of converses. Theorem 16 of [Suppes] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
cnvun	|- `'(A u. B) = (`'A u. `'B)

Proof of Theorem cnvun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 |- Rel `'(A u. B)
2		relcnv 2624	. . . 4 |- Rel `'A
3		relcnv 2624	. . . 4 |- Rel `'B
4	2, 3	pm3.2i 234	. . 3 |- (Rel `'A /\ Rel `'B)
5		relun 2490	. . 3 |- (Rel (`'A u. `'B) <-> (Rel `'A /\ Rel `'B))
6	4, 5	mpbir 165	. 2 |- Rel (`'A u. `'B)
7		elun 1601	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (A u. B) <-> (<.y, x>. e. A \/ <.y, x>. e. B))
8		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
9		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
10	8, 9	opelcnv 2518	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'A <-> <.y, x>. e. A)
11	8, 9	opelcnv 2518	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. `'B <-> <.y, x>. e. B)
12	10, 11	orbi12i 216	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B) <-> (<.y, x>. e. A \/ <.y, x>. e. B))
13	7, 12	bitr4 154	. . 3 |- (<.y, x>. e. (A u. B) <-> (<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B))
14	8, 9	opelcnv 2518	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(A u. B) <-> <.y, x>. e. (A u. B))
15		elun 1601	. . 3 |- (<.x, y>. e. (`'A u. `'B) <-> (<.x, y>. e. `'A \/ <.x, y>. e. `'B))
16	13, 14, 15	3bitr4 158	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(A u. B) <-> <.x, y>. e. (`'A u. `'B))
17	1, 6, 16	cleqreli 2484	1 |- `'(A u. B) = (`'A u. `'B)

Syntax hints:   \/ wo 195   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485  <.cop 1810  `'ccnv 2409  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  rnun 2644  f1oun 2815  sbthlem8 3356

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org