Theorem cnvxp 2651

Description: The converse of a cross product. Exercise 11 of [Suppes] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
cnvxp	|- `'(A X. B) = (B X. A)

Proof of Theorem cnvxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 |- Rel `'(A X. B)
2		relxp 2486	. 2 |- Rel (B X. A)
3		visset 1350	. . . 4 |- x e. V
4		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
5	3, 4	opelcnv 2518	. . 3 |- (<.x, y>. e. `'(A X. B) <-> <.y, x>. e. (A X. B))
6		ancom 333	. . . 4 |- ((y e. A /\ x e. B) <-> (x e. B /\ y e. A))
7	3	opelxp 2452	. . . 4 |- (<.y, x>. e. (A X. B) <-> (y e. A /\ x e. B))
8	4	opelxp 2452	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (B X. A) <-> (x e. B /\ y e. A))
9	6, 7, 8	3bitr4 158	. . 3 |- (<.y, x>. e. (A X. B) <-> <.x, y>. e. (B X. A))
10	5, 9	bitr 151	. 2 |- (<.x, y>. e. `'(A X. B) <-> <.x, y>. e. (B X. A))
11	1, 2, 10	cleqreli 2484	1 |- `'(A X. B) = (B X. A)

Syntax hints:   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408  `'ccnv 2409

This theorem is referenced by:  xp0 2652  rnxp 2657  fconst 2774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org